CF1238E Keyboard Purchase

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本文详细解析了CF1238E键盘购买问题的动态规划算法实现，介绍了如何通过状态压缩来优化计算过程，以及如何处理字符串中字符相对位置变化带来的代价计算问题。

CF1238E Keyboard Purchase

题意

给定n和m，给出一个由m个不同小写字母组成的长度为n的字符串
可以改变前m个小写字母的相对位置
每一种可能的值是给出的字符串的每两个相邻位置的字母的相对位置的和
- 即 $\sum |pos_{s[i]}-pos_{s[i+1]}|$
求最小的一种排列方式

思路

显然可以考虑状压dp

每次转移为下一个加入的字符为哪个

需要考虑的是转移代价的计算

由于i与j的代价（ $pos_i-pos_j)*num(i,j)$ ）与他加入字符串的时间有关

对于这样的问题，

我们考虑若j不加入字符串，那么 $pos_i$ 需要向后推移一位

则代价需要加上j字符与所有已加入字符串的字符的对数

dp[0] = 0;
int in[21], out[21], val[21];
register int p, q;
for (int i = 0; i < limit; i++) {
    int temp = i;
    p = q = 0;
    for (int j = 0; j < m; j++)
        if (temp & n2[j])
            in[++p] = j;
        else
            out[++q] = j;
    int ans = dp[temp];
    for (int j = 1; j <= q; j++)
        for (int k = 1; k <= p; k++)
            ans += a[out[j]][in[k]];
    int cnt;
    for (int j = 1; j <= q; j++) {
        cnt = temp | n2[out[j]];
        dp[cnt] = min(dp[cnt], ans);
    }
}

代码

#include <bits\stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 5;
int n, m;
char s[maxn];
int a[26][26], n2[26];
void init()
{
    n2[0] = 1;
    for (int i = 1; i < m; i++)
        n2[i] = n2[i - 1] << 1;
    for (int i = 1; i < n; i++)
        if (s[i] != s[i + 1])
            a[s[i] - 'a'][s[i + 1] - 'a']++;
    for (int i = 0; i < m; i++)
        for (int j = i + 1; j < m; j++)
            a[i][j] = a[j][i] = a[i][j] + a[j][i];
}
const int maxm = 1 << 20;
int dp[maxm];
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    scanf("%s", s + 1);
    init();
    int limit = (1 << m) - 1;
    memset(dp, 0X3f, sizeof(int) * (limit + 1));
    dp[0] = 0;
    int in[21], out[21], val[21];
    register int p, q;
    for (int i = 0; i < limit; i++) {
        int temp = i;
        p = q = 0;
        for (int j = 0; j < m; j++)
            if (temp & n2[j])
                in[++p] = j;
            else
                out[++q] = j;
        int ans = dp[temp];
        for (int j = 1; j <= q; j++)
            for (int k = 1; k <= p; k++)
                ans += a[out[j]][in[k]];
        int cnt;
        for (int j = 1; j <= q; j++) {
            cnt = temp | n2[out[j]];
            dp[cnt] = min(dp[cnt], ans);
        }
    }

    printf("%d\n", dp[limit]);
    return 0;
}