用相似对角矩阵加速矩阵的幂，以斐波那契数列为例

《用相似对角矩阵加速矩阵的幂，以斐波那契数列为例》

在计算机科学和线性代数领域，矩阵的幂是一个常见而重要的问题。特别是对于大型矩阵，直接计算幂可能会变得十分耗时。然而，通过相似对角矩阵的方法，我们能够以更为高效的方式解决这个问题。本文将探讨这一方法，并以斐波那契数列为例进行说明。
这个方法要保证矩阵有n个线性无关的特征向量，所以一般在知道要计算的矩阵时，或保证矩阵满足条件后使用

参考

参考
https://zhuanlan.zhihu.com/p/138285148
扩展
https://oi-wiki.org/math/poly/linear-recurrence/

什么是相似对角矩阵？

在线性代数中，如果存在一个可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP=\Lambda$，其中 $\Lambda$ 是对角矩阵，那么我们说矩阵 $A$ 和对角矩阵 $\Lambda$ 是相似的，而 $P$ 就是相似变换矩阵。

矩阵的幂和斐波那契数列

考虑矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$，这是斐波那契数列的矩阵形式。我们知道斐波那契数列的定义是 $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$，其中 $F_0=0,F_1=1$。我们可以通过计算 $A^n$ 来得到第 $n$ 个斐波那契数。

相似对角矩阵的计算

首先，我们计算矩阵 $A$ 的特征值和特征向量。经过计算，我们得到特征值 ${\lambda }_1\approx 1.618$ 和 ${\lambda }_2\approx -0.618$，以及对应的特征向量。通过构建相似矩阵 $P$ 和对角矩阵 $\Lambda$，我们有了相似对角矩阵的形式。

$$P=\left[\begin{array}{cc}\frac{1+\sqrt{5}}{2}& \frac{1-\sqrt{5}}{2}\\ 1& 1\end{array}\right]$$

$$\Lambda =\left[\begin{array}{cc}\frac{1+\sqrt{5}}{2}& 0\\ 0& \frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right]$$

用相似对角矩阵加速矩阵的幂

通过相似对角矩阵的形式，我们可以高效地计算 $A^n$。这涉及计算对角矩阵的幂，以及相似变换矩阵的逆矩阵。利用这些结果，我们可以在 $O(\log n)$ 的时间内得到 $A^n$。

斐波那契数列的计算

最终，我们将这个方法应用于斐波那契数列。通过计算 $A^n$，我们可以高效地获得斐波那契数列的第 $n$ 个数。这个方法相较于直接计算幂的方式在大型 $n$ 值时更为高效。

示例

https://leetcode.cn/problems/climbing-stairs/description/?envType=daily-question&envId=2023-12-10

class Solution
{
public:
    int climbStairs(int n)
    {
        if (n == 1)
            return 1;

        auto mul = [&](std::vector<std::vector<double>> a, std::vector<std::vector<double>> b)
        {
            int n = a.size(), m = a.front().size(), q = b.front().size();
            std::vector<std::vector<double>> result(n, std::vector<double>(q, 0));
            for (int i = 0; i < n; i++)
            {
                for (int j = 0; j < q; j++)
                {
                    double &res = result[i][j];
                    for (int k = 0; k < m; k++)
                        res += a[i][k] * b[k][j];
                }
            }
            return result;
        };

        int k = n;
        double sqrt5 = sqrt(5);
        std::vector<std::vector<double>> P{{(1 + sqrt5) / 2, (1 - sqrt5) / 2}, {1, 1}};
        std::vector<std::vector<double>> A{{pow((1 + sqrt5) / 2, k), 0}, {0, pow((1 - sqrt5) / 2, k)}};
        std::vector<std::vector<double>> P_{{1 / sqrt5, (-1 + sqrt5) / 2 / sqrt5}, {-1 / sqrt5, (1 + sqrt5) / 2 / sqrt5}};
        std::vector<std::vector<double>> Result = mul(mul(P, A), P_);

        return (int)Result[0][0];
    }
};

结论

通过相似对角矩阵加速矩阵的幂，我们在处理斐波那契数列这一经典问题时展示了这一方法的实际应用。这种技术对于解决其他矩阵幂的计算问题同样具有广泛的应用，尤其是在处理大型矩阵时。希望本文能为理解矩阵的幂和相似对角矩阵的概念提供一些启示。