【计算机视觉】Gaussian Splatting源码解读补充（一）

本文旨在补充@gwpscut创作的博文学习笔记之——3D Gaussian Splatting源码解读。

Gaussian Splatting Github地址：https://github.com/graphdeco-inria/gaussian-splatting
论文地址：https://repo-sam.inria.fr/fungraph/3d-gaussian-splatting/3d_gaussian_splatting_high.pdf

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一、预备知识：球谐（Spherical Harmonics）

这部分可以参考PlenOctrees论文的附录B。

有时候从不同的角度看同一个物体看到的景象是不一样的（比如激光笔，它只朝一个固定的方向发光），所以需要定义从一个三维单位球体上各点观察一个物体所得的颜色函数。记这样的一个函数为$L(\theta ,\phi )$，其中$\theta \in [0,\pi ]$是纬度，$\phi \in [0,2\pi )$是经度。任何从$[0,\pi ]\times [0,2\pi )$映射到$\mathbb{C}$的函数都可以经过傅里叶变换表达为一系列函数$Y_l^m$的线性组合，其中$l\in \mathbb{N}$称为度数（degree）， m ∈ { − l , − l + 1 , ⋯   , 0 , ⋯   , l − 1 , l } m\in\{-l,-l+1,\cdots,0,\cdots,l-1,l\} m∈{ −l,−l+1,⋯,0,⋯,l−1,l}称为阶数（order）。$Y_l^m$定义为$$Y_l^m(\theta ,\phi )=\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi }\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}{P}_l^m(\cos \theta )e^{im\phi }$$其中$P_l^m(\cos \theta )e^{im\phi }$是勒让德多项式。当然这里的$Y_l^m$是复数，我们可以定义对应的实数版本$$Y_l^m(\theta ,\phi )=\{\begin{array}{ll}\sqrt{2}(-1{)}^m\mathrm{Im}[Y_l^{|m|}],& m<0\\ Y_l^0,& m=0\\ \sqrt{2}(-1{)}^m\mathrm{Re}[Y_l^m],& m>0\end{array}$$任何实的求函数$L:[0,\pi ]\times [0,2\pi )\to \mathbb{R}$都可以用球谐基来表达：$$L(\theta ,\phi )=\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^l{k}_l^m{Y}_l^m(\theta ,\phi )$$其中$k_l^m$是对应的傅里叶系数。特别地，直流分量 Y 0 0 = 1 2 π Y_0^0=\frac{1}{2\sqrt\pi}