【线性代数/计算复杂性理论】积和式的指数时间算法：Ryser算法

一、积和式的定义

积和式（permanent）是一种和行列式长得很像的矩阵函数。在介绍积和式之前，我们先看看行列式（determinant）的定义。

首先需要引入“排列”（permutation）的概念。对于集合 S = { 1 , 2 , ⋯   , n } S=\{1,2,\cdots,n\} S={ 1,2,⋯,n}，它的一个排列$\sigma$就是对$S$中元素的一个重排。$\sigma$的第$i$个元素记作${\sigma }_i$。例如，对于$n=5$，我们令 σ = { 2 , 5 , 1 , 4 , 3 } \sigma=\{2,5,1,4,3\} σ={ 2,5,1,4,3}，则${\sigma }_3=1$，${\sigma }_5=3$。

排列的逆序对就是$a$在$b$前面但${\sigma }_a>{\sigma }_b$的情况。例如 σ = { 2 , 1 , 3 , 5 , 4 } \sigma=\{2,1,3,5,4\} σ={ 2,1,3,5,4}，有两个逆序对：$({\sigma }_1,{\sigma }_2)=(2,1)$和$({\sigma }_4,{\sigma }_5)=(5,4)$。一个排列$\sigma$中逆序对的个数记作$\tau (\sigma )$。令$\mathrm{sgn}(\sigma )=(-1{)}^{\tau (\sigma )}$。对于一个排列$\sigma$，如果你把其中的两个数互换，则$\mathrm{sgn}(\sigma )$会变号。所有$n$个元素的排列的集合记作$S_n$。例如，$S_3=\{(123),(132),(213),(231),(312),(321)\}$。

给定一个$n\times n$的矩阵$A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$，它的行列式为$$\det (A)=\sum _{\sigma \in S_n}\left(\mathrm{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n{a}_{i,{\sigma }_i}\right)$$例如，当$n$