【离散数学/组合数学】环排列与多重集的排列组合问题

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环排列

有$n$个互不相同的元素，选取其中$r$个元素排成一个环。问有多少本质不同的排法。

因为对一种排法旋转$1,2,\cdots ,r-1$位都是一样的，比如$123,231,312$，所以我们可以把$r$种可以通过旋转互相转化的排法分为一组，而总共有$A_n^r$种排法，所以有$\frac{A_n^r}{r}$组，每一组代表一种相同的环排列，所以共有$\frac{A_n^r}{r}$个环排列。

即：$n$个元素取$r$个的环形排列的个数是$\frac{A_n^r}{r}$（称为$n$个元素的环形$r$排列数）。

特别地，当$n=r$时，排列个数为$\frac{A_n^n}{n}=(n-1)!$。

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多重集的排列组合

一、多重集的定义

多重集是元素可以多次出现的集合。通常把某个元素$a_i$出现
的次数$n_i$叫做该元素的重复度。如果多重集$S$中
含有$k$种不同的元素$a_1,a_2,\cdots ,a_k$，那么可以把$S$记为 { n 1 ⋅ a 1 , n 2 ⋅ a 2 , ⋯   , n k ⋅ a k } \{n_1\cdot a_1,n_2\cdot a_2,\cdots,n_k\cdot a_k\} { n1​⋅a1​,n2​⋅a2​,⋯,nk​⋅ak​}。

例如， { 2 ⋅ p , 3 ⋅ q } \{2\cdot p,3\cdot q\} { 2⋅p,3⋅q}就表示$p,p,q,q,q$。

二、多重集的排列

定义

设多重集 S = { n 1 ⋅ a 1 , n 2 ⋅ a 2 , ⋯   , n k ⋅ a k } S=\{n_1\cdot a_1,n_2\cdot a_2,\cdots,n_k\cdot a_k\} S={ n1​⋅a1​,n2​⋅a2​,⋯,nk​⋅ak​}。从$S$中有序选取的$r$个元素叫做$S$的一个$r$排列，当$r=n=n_1+n_2+\cdots +n_k$时，也叫做$S$的一个排列。

例如，对于 S = { 1 ⋅ e , 2 ⋅ f , 3 ⋅ g } S=\{1\cdot e,2\cdot f,3\cdot g\} S={ 1⋅e,2⋅f,3⋅g}，则$efgf$、 g g g e ggge