【线性代数笔记】秩为1的矩阵的性质

定理1 矩阵$A_{n\times m}$的秩为$1$$⟺$$A=\alpha {\beta }^T$，其中$\alpha ,\beta$分别为$n,m$维非零列向量。

证明：
必要性：由等价标准型定理知存在可逆矩阵$P,Q$使得$A=P\left[\begin{array}{cc}1& O\\ O& O\end{array}\right]Q$，其中$\left[\begin{array}{cc}1& O\\ O& O\end{array}\right]={\left[\begin{array}{c}1\\ O\end{array}\right]}_{n\times 1}{\left[\begin{array}{cc}1& O\end{array}\right]}_{1\times m}$。
令α=P[1O]n×1\alpha=P\begin{bmatrix}1\\O\end{bmatrix}_{n\times 1}