43、碰撞自由哈希函数的构造与应用

碰撞自由哈希函数的构造与应用

1. 碰撞自由哈希函数族的定义

碰撞自由哈希函数族 (H) 中的成员 (h) 是一个从 ({0,1}^ ) 到 ({0,1}^t) 的函数，它需要满足以下条件：
1. 给定一个值 (m)，存在一个概率多项式时间算法 (\theta)，该算法以 (m) 为输入，随机选择一个大小为 (m) 的 (H) 的实例。
2. 对于任意实例 (h \in H_m) 和 (x \in {0,1}^ )，(h(x)) 易于计算，即在 (m) 和 (|x|) 的多项式时间内可计算。
3. 给定一个如条件 1 中随机选择的实例 (h \in H)，很难找到 (x,y \in {0,1}^*)，使得 (h(x) = h(y)) 且 (x \neq y)。更正式地说，对于任何概率多项式时间算法 (A) 和任何多项式 (P)，考虑大小为 (m) 的实例 (h) 的子集，对于这些实例，(A) 以至少 (1/P(m)) 的概率输出 (x \neq y) 使得 (h(x) = h(y))。设 (c(m)) 是 (\theta) 选择这些实例之一的概率。那么作为 (m) 的函数，(c(m)) 比任何多项式分数消失得更快。

2. 基本构造

定理 3.1 表明，可以从固定大小的碰撞自由哈希函数族构造出任意长度字符串的碰撞自由哈希函数族。
设 (F) 是一个将 (m) 位映射到 (t(m)) 位的固定大小碰撞自由哈希函数族。则存在一个将任意长度字符串映射到 (t(m)) 位字符串的碰撞自由哈希函数族 (H)。
对于大小为 (m) 的实例 (h \in H)，使用 1 个处理器计算长度为 (n) 的输入 (h) 的值最