13、量子理论中的噪声与纯化视角

量子理论中的噪声与纯化视角

1. 噪声量子理论基础

在量子理论中，量子仪器是一种重要的概念。我们定义 (E_j(\rho) \equiv \sum_{k} M_{j,k}\rho M_{j,k}^{\dagger}) ，每个与 (j) 相关的映射 (E_j(\rho)) 是一个完全正的、迹非增的映射，因为 (Tr {E_j(\rho)} \leq 1) ，实际上有 (Tr {E_j(\rho)} = p_J(j)) ，这里的概率 (p_J(j)) 依赖于输入到仪器的密度算符 (\rho) 。

通过对经典寄存器 (J) 求迹，我们可以确定仪器的量子输出：
[Tr_J \left{\sum_{j} E_j(\rho) \otimes |j\rangle\langle j| J\right} = \sum {j} E_j(\rho)]
这个“求和映射”是一个迹保持映射，因为 (\sum_{j} Tr {E_j(\rho)} = \sum_{j} p_J(j) = 1) ，这是由于边缘概率 (p_J(j)) 之和为 1 。

需要强调的是，量子仪器比将完全正迹保持（CPTP）映射的混合应用于量子态更具一般性。当我们将 CPTP 映射的混合 ({N_j}) 应用于量子态 (\rho) 时，得到的期望态为 (\sum_{j} p_J(j)|j\rangle\langle j|_J \otimes N_j(\rho)) ，这里的概率 (p_J(j)) 与输入到 CPTP 映射混合的态 (\rho) 无关，但对于量子仪器，概率 (p_J(j)) 可以依赖于输入态 (\rho) ，因此写成 (p_J(j|\rho)) 更合适。

2. 量