8、量子复合系统与纠缠：原理、应用与特性

量子复合系统与纠缠：原理、应用与特性

1. 不确定性原理与量子态测量

在量子力学中，对量子态的测量遵循不确定性原理。当我们制备一个量子态 $|\psi\rangle$ 并对其进行不同可观测量的测量时，会得到不同的测量结果。例如，多次独立测量可观测量 $Z$，可以计算出其标准差 $\Delta Z$ 的估计值，随着测量次数的增加，该估计值会趋近于真实的标准差。同样，对可观测量 $X$ 进行多次测量后，也能得到 $\Delta X$ 的估计值。不确定性原理表明，对于大量独立实验，$\Delta X$ 和 $\Delta Z$ 估计值的乘积有一个下限，即 $\frac{1}{2}|\langle\psi|[X, Z]|\psi\rangle|$。

这里有两个相关的练习：
- 证明 $[Z_0, X_0] = [Z, X]$ 且 $[Z, X] = -2iY$。
- 找到一个量子态 $|\psi\rangle$，使得不确定性乘积 $\Delta X\Delta Z$ 的下限为零。

2. 复合量子系统的描述

单个物理量子比特虽然能展现独特的量子现象，但单独使用时作用有限。为了进行有意义的量子信息处理任务，需要将多个量子比特组合成复合量子系统。

2.1 经典比特与量子比特的对应

考虑两个经典比特 $c_0$ 和 $c_1$，可以将它们表示为有序对 $(c_1, c_0)$，所有可能的比特值构成的空间是两个集合 $\mathbb{Z}_2 \equiv {0, 1}$ 的笛卡尔积 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1,