Transformer——Q72 分析FFN隐层维度 d_{ff} 与模型容量的关系（通过VC维理论）

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该问题归类到Transformer架构问题集——前馈网络——全连接层。请参考LLM数学推导——Transformer架构问题集。

1. 引言

在大语言模型（LLM）的构建与优化征程中，前馈神经网络（FFN）作为核心模块之一，其隐层维度 $d_{ff}$ 的设置堪称关键 “密码”。模型容量，作为衡量模型学习和表达复杂函数能力的重要指标，与 $d_{ff}$ 之间究竟存在怎样的内在关联？VC 维（Vapnik - Chervonenkis dimension）理论如同精准的 “解码器”，为我们深入剖析这一关系提供了强大的数学工具。深入探究 FFN 隐层维度 $d_{ff}$ 与模型容量的关系，不仅有助于揭开 LLM 高效运行的神秘面纱，更为模型架构设计、参数调整指明方向，推动自然语言处理技术迈向新高度。

2. FFN 与模型容量基础概念

2.1 FFN 结构概述

FFN 在前馈神经网络中承担着对输入特征进行非线性变换的核心任务。以 Transformer 架构中的 FFN 为例，其典型结构由两层全连接层构成。假设输入向量 x 的维度为 $d_{in}$ ，它首先与权重矩阵 $W_1$ （维度 $d_{in} \times d_{ff}$ ）相乘，并加上偏置向量 $b_1$ ，随后经过激活函数（如 ReLU、GeLU 等）引入非线性，得到中间向量 h ，即 $h = \text{Activation}(xW_1 + b_1)$ 。接着，中间向量 h 与权重矩阵 $W_2$ （维度 $d_{ff} \times d_{out}$ ）相乘并加上偏置向量 $b_2$ ，最终输出向量 $y = hW_2 + b_2$ 。在此过程中，隐层维度 $d_{ff}$ 如同调节信号丰富度的 “阀门”，直接影响着中间层特征的多样性与模型的表达能力。

2.2 模型容量的定义与意义

模型容量，简单来说，就是模型学习和表示复杂函数的能力。模型容量高，意味着模型能够捕捉数据中复杂的模式和规律，适用于处理复杂任务；模型容量低，则更擅长学习简单模式，但面对复杂任务时易出现欠拟合。在 LLM 中，合适的模型容量是准确理解自然语言复杂语义、生成高质量文本的关键。容量不足，模型可能无法理解文本深层含义，生成内容空洞、逻辑混乱；容量过大，又可能过度拟合训练数据，在新数据上表现不佳。因此，精准把握 FFN 隐层维度 $d_{ff}$ 与模型容量的关系，成为优化 LLM 性能的核心要点。

3. VC 维理论基础

3.1 VC 维的定义

VC 维是统计学习理论中用于衡量函数族分类能力的重要概念。对于一个函数族 F ，若存在一个大小为 d 的数据集 S ，函数族 F 能够以任意方式对数据集 S 进行分类（即实现数据集中每个样本分类为正类或负类的所有 2^d