Transformer——Q71 推导SwiGLU激活函数 xW⊙Sigmoid (xV) 的梯度特性-优快云博客

该问题归类到Transformer架构问题集——前馈网络——全连接层。请参考LLM数学推导——Transformer架构问题集。

1. 引言

在大语言模型（LLM）的技术演进浪潮中，激活函数作为神经网络的 “神经元开关”，其设计与优化直接关乎模型的表达能力和训练效率。SwiGLU（Switch - GLU）激活函数凭借独特的门控结构，在 Transformer 架构为核心的 LLM 中异军突起，成为提升模型性能的关键技术。从数学角度深入推导 SwiGLU 激活函数 $xW \bigodot \text{Sigmoid} (xV)$ 的梯度特性，不仅能揭示其在模型训练中参数更新的内在逻辑，更为后续优化模型、突破性能瓶颈提供重要的理论支撑，助力 LLM 在自然语言处理任务中实现更高质量的语义理解与生成。

2. SwiGLU 激活函数基础

2.1 函数定义与结构

SwiGLU 激活函数是 GLU（Gated Linear Unit）激活函数的升级变体，其核心在于通过门控机制实现对输入特征的动态筛选与激活。在表达式 $xW \bigodot \text{Sigmoid} (xV)$ 中：

x 代表输入向量，其维度为 $d_{in}$ ，可视为模型接收的原始语义信息编码；
W 和 V 是可学习的权重矩阵，维度均为 $d_{in} \times d_{out}$ ，它们如同模型的 “智能调节器”，通过与输入 x 进行线性变换，将原始信息映射到新的特征空间；
$\text{Sigmoid}$ 函数作为经典的激活函数，表达式为 $\text{Sigmoid}(z)=\frac{1}{1 + e^{-z}}$ ，它能将输入 z 压缩到 (0, 1) 区间，为门控机制提供关键的权重信号；
$\bigodot$ 表示元素级乘法，即两个相同维度向量对应元素相乘，通过该运算，门控信号得以对 xW 进行加权，实现对输入特征的选择性激活。

具体运算流程为：输入向量 x 首先分别与权重矩阵 W、V 进行矩阵乘法，得到 xW 和 xV；接着对 xV 应用 $\text{Sigmoid}$ 函数，生成取值在 (0, 1) 之间的门控信号；最后，通过元素级乘法，门控信号与 xW 融合，决定哪些语义特征能够被保留并传递到下一层，哪些则被抑制。

2.2 在 LLM 中的应用背景

随着 LLM 规模不断扩张，参数数量从数十亿激增至数万亿，传统激活函数在处理海量数据和复杂语义时逐渐显露出局限性。例如，ReLU 等简单激活函数在深层网络中容易出现 “神经元死亡” 问题，而复杂的激活函数又可能带来过高的计算成本。SwiGLU 激活函数的出现有效解决了这些矛盾，它在 Transformer 架构的前馈神经网络（FFN）、注意力机制等关键模块中广泛应用。在 Chinchilla、PaLM 等知名大型语言模型中，SwiGLU 激活函数的引入显著提升了模型的非线性表达能力，在处理长文本序列时，能够更准确地捕捉语义依赖关系，同时降低了计算复杂度，使得模型在训练效率和生成质量上实现了双重突破，成为推动 LLM 技术发展的重要创新点。

3. 相关数学基础

3.1 矩阵乘法与向量运算

在 SwiGLU 激活函数中，矩阵乘法和向量运算是基础操作。对于矩阵 A（维度 $m \times n$ ）和矩阵 B（维度 $n \times p$ ），其乘积 AB 的元素 $(AB)_{ij}$ 计算方式为 $(AB)_{ij}=\sum_{k = 1}^{n}A_{ik}B_{kj}$ 。在 SwiGLU 中，输入向量 x（可视为 $1 \times d_{in}$ 的矩阵）与权重矩阵 W、V（维度 $d_{in} \times d_{out}$ ）相乘时，以 xW 为例，其计算过程为：