16、变换编码的基本原理与应用

变换编码的基本原理与应用

1. 变换编码基础

在图像压缩领域，离散余弦变换（DCT）是一种常用的变换方法。不同大小的DCT在能量压缩能力和计算复杂度上有所不同。以下是不同尺寸DCT包含超过99%总能量的系数百分比：
| DCT尺寸 | 包含超过99%总能量的系数百分比 |
| ---- | ---- |
| 4 × 4 | 62.5 |
| 8 × 8 | 65.63 |
| 16 × 16 | 68.75 |

从表格中可以看出，16×16 DCT虽然需要较少比例的系数来包含99%或更多的总能量，但仍需要68.75%的系数来压缩总能量，其能量压缩能力并非十分高效。而且，变换的计算复杂度会随着尺寸的增大而增加。例如，8×8块的DCT按行 - 列方式实现需要144次运算（这里的运算指乘法），而16×16 DCT则需要1024次运算，几乎比8×8 DCT的计算量增加了一个数量级。基于能量压缩能力和计算效率，我们主要讨论基于8×8 DCT的编码方法。

2. 最优比特分配

变换系数的数值取决于图像块的活动程度。平坦像素块的交流（AC）系数中具有显著值的很少，而活动剧烈的块则有大量具有显著值的AC系数。因此，设计具有不同量化比特数的量化器是有意义的。对于给定的编码器，通常像素的平均比特率（bpp）是固定的，这就引出了如何为每个变换系数的量化器分配比特数以满足比特预算的问题。

2.1 问题描述

给定大小为N×N的酉变换矩阵A和总体平均比特率R bpp，确定各个量化器的比特数Ri（1 ≤ i ≤ N²），使得输入图像和重建图像之间的均方误差（MSE）最小。编码器的平均比特率R与各个量化器的比特数