6、图像变换：原理、算法与应用

图像变换：原理、算法与应用

1. 引言

在图像处理中，图像采集设备通常在空间域捕获图像和视频。虽然可以在空间或像素域对捕获的图像进行操作以实现视觉增强，但某些图像处理操作在不同的域中进行会更加直观和高效。

例如，在傅里叶变换域设计和解释数字滤波器更为容易。而且，在频域对图像进行去相关处理比在空间域更有效，这在图像和视频压缩中非常有用。此外，为了进行模式分类和识别，在频域捕获图像的某些特征比在像素域更高效，因为频域可以减少维度，从而降低计算负载。

需要指出的是，傅里叶或频域并不是表示图像的唯一可选域，任何正交坐标都适合表示图像。选择哪种域取决于具体的应用。同时，所选择的变换必须是线性且可逆的，以便能从变换域恢复图像，还应是正交的，这样才能在不同维度上独立地操作变换后的图像。

使用正交变换在新域中表示图像的目的是在不牺牲视觉质量的前提下实现高度的数据压缩。接下来，我们将研究正交和酉变换，探索它们在实现压缩方面的理论极限以及实现过程中的问题。

2. 酉变换

对于大小为 N × N 像素的图像，酉变换意味着该图像可以表示为 N² 个基图像的线性组合。这些基图像可能与被变换的图像无关（如离散余弦变换 DCT），也可能从图像本身计算得到（如 Karhunen–Loève 变换 KLT）。酉变换具有非常有用的性质，特别是从图像压缩的角度来看，我们将重点关注这类变换。下面将分别介绍一维（1D）和二维（2D）酉变换。

2.1 一维酉变换

考虑一个一维序列作为向量 xT = [x [n] , 0 ≤ n ≤ N - 1]，其线性变换可表示为：
y = Ax
或
y