9、马尔可夫模型与隐马尔可夫模型详解

马尔可夫模型与隐马尔可夫模型详解

1. 引言

在现代语音识别系统中，隐马尔可夫模型（HMMs）一直是统计建模的主要手段。尽管存在局限性，但HMM的各种变体仍是该领域应用最广泛的技术，并且普遍被认为是最成功的。接下来，我们将深入探讨马尔可夫模型和隐马尔可夫模型的基本理论、应用以及相关实现细节。

2. 马尔可夫模型

2.1 马尔可夫假设

在很多情况下，我们会考虑一系列相互关联的随机变量，这些变量的值往往依赖于序列中前面的元素。对于这类系统，我们可以合理假设：预测未来随机变量所需的信息仅为当前随机变量的值，而无需知道序列中所有过去随机变量的值。

例如，若随机变量表示大学图书馆的书籍数量，那么知道今天图书馆的书籍数量或许就足以预测明天的书籍数量，而无需了解上周甚至去年的书籍数量。也就是说，给定当前元素，序列的未来元素与过去元素条件独立。

设 $X = (X_1, \ldots, X_T)$ 是取值于有限集合 $S = {s_1, \ldots, s_N}$（状态空间）的随机变量序列，则马尔可夫性质如下：
- 有限视野 ：$P(X_{t + 1} = s_k|X_1, \ldots, X_t) = P(X_{t + 1} = s_k|X_t)$
- 时间不变性（平稳性） ：$P(X_{t + 1} = s_k|X_t) = P(X_2 = s_k|X_1)$

当 $X$ 满足上述性质时，称其为马尔可夫链，或具有马尔可夫性质。

2.2 马尔可夫链的描述

可以用随机转移