5、显式稳定控制器：原理与应用

显式稳定控制器：原理与应用

在控制理论领域，显式稳定控制器对于解决许多实际问题具有重要意义。本文将深入探讨几种不同类型系统的显式稳定控制器设计，包括反应扩散方程、具有空间变化反应性的系统、固体推进剂火箭模型、具有空间变化扩散率的系统以及时变反应方程。

1. 反应扩散方程

考虑反应扩散系统：
[
\begin{cases}
u_t(x, t) = \varepsilon u_{xx}(x, t) + \lambda_0 u(x, t), & x \in (0, 1) \
u(0, t) = 0 \
u(1, t) = U_D(t) \text{ 或 } u_x(1, t) = U_N(t)
\end{cases}
]
其中，(\varepsilon > 0) 和 (\lambda_0) 为常数。该开环系统不稳定，当 (\frac{\lambda_0}{\varepsilon}) 足够大时，具有任意多个不稳定特征值。

为求解该系统，我们需要解决核偏微分方程：
[
\begin{cases}
k_{xx}(x, y) - k_{yy}(x, y) = \lambda k(x, y), & (x, y) \in T \
k(x, 0) = 0 \
k(x, x) = -\frac{\lambda x}{2}
\end{cases}
]
这里，(\lambda = \frac{\lambda_0 + c}{\varepsilon})。我们采用逐次逼近法求解该方程，引入新变量 (\xi = x + y)，(\et