26、模糊逻辑中的感知与数学运算

模糊逻辑中的感知与数学运算

1. 感知作为数学对象

在处理系统行为的数学描述时，通常会将系统状态表示为系统变量抽象空间中的一个“点”。但当我们的知识存在不精确性时，这种表示方式就显得力不从心了，因为相邻的点难以区分。例如，“低兴奋性和低保护”这样的描述，对应的是系统状态空间中的某个区域，而非精确的点，且这个区域应该是“云状”的，没有清晰的边界。

为了给这种“云状区域”赋予数学意义，引入了模糊集的概念。假设系统由参数 ${x_1, x_2, …, x_n}$ 描述，每个状态由抽象空间 $X$ 中的点 $x = {x_1, …, x_n}$ 表示。普通的“清晰”域或集合 $D$ 可以通过其恒等函数 $Id_D(x)$ 定义：
[
Id_D(x) =
\begin{cases}
1, & \text{如果 } x \in D \
0, & \text{否则}
\end{cases}
]

当我们对系统状态的知识不精确时，对于接近 $D$ 边界的点，无法确定它是否属于该区域。此时，可以引入隶属函数 $\mu_D(x)$（$0 \leq \mu_D(x) \leq 1$），它表示给定点 $x$ 属于集合或域 $D$ 的可能性估计。

模糊集可以看作是我们对系统状态感知的数学表示，因此可以用隶属函数来表示语言变量，反映我们对系统特征知识的不确定性。例如，语言变量“低 $X$”可以用函数 $\mu_{Low}(x)$ 描述，它估计了量 $x$ 的给定值为低的可能性。

这种思想允许通过为系统参数配备该参数的某些函数，并处理对 ${x, \mu_A(x)}$ 而不是仅处理参数