4、数学在动态系统与微分方程中的应用

数学在动态系统与微分方程中的应用

一、动态系统基础

1.1 动态系统的定义

动态系统是变量随时间变化的系统。我们借助变量随时间的变化来构建引发这些变化的机制模型。例如，生物种群数量会随时间改变，其食物供应也会随时间变化，这些都是动态系统的体现。

1.2 线性行为的实验验证

要通过实验证明动态系统具有线性行为，可运用叠加原理（Tool 1）。

1.3 相关练习与思考

• 仿射函数系统分析 ：对于形如 $y = k_1x + k_2$ 的仿射函数系统，从黑箱类比角度看，$x$ 是输入，$y$ 是输出，函数关系描述了黑箱内容。判断此动态系统是否满足线性叠加原理，需依据叠加原理的定义进行分析。
• 线性函数的叠加原理验证 ：函数 $y = kx$ 满足线性叠加原理，所以此类形式的函数被称为线性函数。验证过程如下：
  设 $x_1$ 和 $x_2$ 为输入，对应的输出分别为 $y_1 = kx_1$ 和 $y_2 = kx_2$。
  对于输入 $x_1 + x_2$，输出为 $y = k(x_1 + x_2) = kx_1 + kx_2 = y_1 + y_2$，满足叠加原理。
• 实验室研究选题 ：选择三个感兴趣的实验室研究主题，为每个主题定义系统及其周围环境，分析周围环境事件对系统的影响，并设计实验判断系统是否线性。同时，需考虑研究的时间尺度，通过网络等途径确定合适且经济的实验仪器。

二、数学与变化的理