微积分-简记

前言

偷偷写微积分笔记吓死同学。

当然我可能讲得不太好。

毕竟我才学 QaQ。

以及本人只是一个入门了解。

求导

$f^{\prime }(x)$ 代表求导此函数（即求导求出来的是一个原函数的变化函数，类似变化率）。

举个例子：

$f(x)=x^2$ 时，$f^{\prime }(x)=2x$。

当然在此给出公式：

$f(x)=x^n$ 时，$f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$。

以及：$f(x)=nx$ 时，$f^{\prime }(x)=n$。

这边是一个求导小方法：

$$f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.$$

另一种表达方式：

$$f^{\prime }(x)=\frac{dy}{dx}.$$

注意哈，求导求出来的是一个原函数的变化函数，并非一个数。

此时你又会好奇 $dx$ 是什么，接下来是微分的讲解！

微分

此时我们稍微变换一下：

$$dy=f^{\prime }(x)dx.$$

也就是说，$x$ 走一小步乘上“变化率”就是 $y$ 走一小步的长度。

如果单听着不好理解，放到积分里就好了，因为积分要累加 $dy$。

积分

就是微分（导数）的逆运算。

我们用一个各位都知道的公式证明来熟悉积分。

为了方便表达，以下是我的一些定义：

$V$：圆锥体积
$R$：圆锥底部圆的半径
$H$：圆锥的高

这个公式为：$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}H$。

那么我们来证明一下！

首先，我们想一下实现方案。

肯定是将圆锥切成无数个“圆柱”（无限接近）。

那我们先算一下这些“圆柱”的体积。

首先我们需要知道“圆柱”底面圆形的半径 $r$。

注意到圆锥的特性：半径与高度成正比。

我们设“圆柱”底面圆形的半径为 $r$，现在高为 $x$。

那么：

$r:x=R:H$。

变换一下可以得到：

$r=\frac{R}{H}x$。

此时“圆柱”的高度为 $dx$（趋向于无限小），即从 $x$ 走一小步的值。

我们可以得到“圆柱”的面积了（“圆柱”即为微分圆柱的体积）：

$$dV=\pi {\left(\frac{R}{H}x\right)}^{2}dx.$$

即：

$$dV=\pi \frac{R^2}{H^2}{x}^{2}dx.$$

此时 $x$ 的范围就是 $0$ 到 $H$。

所以我们使用定积分（把这些体积加起来，且加的时候 $x$ 的范围就是 $0$ 到 $H$）：

$${\int }_0^H\pi \frac{R^2}{H^2}{x}^{2}dx.$$

注意到 $\pi \frac{R^2}{H^2}{x}^2$ 与 $dx$，这让我们不禁想到了：
$$dy=f^{\prime }(x)dx.$$
此时
$$f^{\prime }(x)=\pi \frac{R^2}{H^2}{x}^2.$$
那么，就是在累加 $dy$。

而累加 $dy$ 这一操作刚好复原出这个函数。

给出一个普通积分的大致形式：
$${\int }_l^r{f}^{\prime }(x)dx=f(r)-f(l).$$
所以说积分是微分（导数）的逆运算。

当然现在算的是图形体积，这里只是加印象。

继续算，把不改变的提到外边：

$$\pi \frac{R^2}{H^2}{\int }_0^H{x}^{2}dx.$$

根据 $f(x)=x^n$ 时，$f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$，

我们可知：

$${\int }_0^H{x}^{2}dx=\frac{H^3}{3}.$$

带回式子：

$$\pi \frac{R^2}{H^2}{\int }_0^H{x}^{2}dx=\pi \frac{R^2}{H^2}\cdot \frac{H^3}{3}=\pi R^2\cdot \frac{H}{3}.$$

整理可得：

$${\int }_0^H\pi \frac{R^2}{H^2}{x}^{2}dx=\frac{1}{3}\pi R^{2}H.$$

证明就到这里了，相信你应该也听懂了吧！