15、频域滤波：MATLAB 实现与原理详解

频域滤波：MATLAB 实现与原理详解

1. 频域变换的中心化处理

在频域分析中，为了简化频谱的可视化分析，常需要将变换的原点移到频率矩形的中心。理论上，可以在计算二维傅里叶变换之前，将图像函数 $f(x, y)$ 乘以 $(-1)^{x + y}$ 来实现这一目的。经过这样的处理后，频谱的周期会重新排列，例如在图 4.2(b) 中，坐标 $(M/2, N/2)$ 处的频谱值与图 4.2(a) 中 $(0, 0)$ 处的值相同，而图 4.2(b) 中 $(0, 0)$ 处的值与图 4.2(a) 中 $(-M/2, -N/2)$ 处的值相同。

不过在 MATLAB 中，更常用的方法是先不进行 $(-1)^{x + y}$ 的乘法运算，直接计算变换，然后使用 fftshift 函数对数据进行重新排列。 fftshift 函数通过交换变换结果的象限来将原点移到中心，其效果与在计算变换前将输入图像乘以 $(-1)^{x + y}$ 类似，但这两个过程不能互换。即 $\mathcal{F}[(-1)^{x + y} f(x, y)]$ 等于 fftshift(fft2(f)) ，但不等于 fft2(fftshift(f)) 。

2. MATLAB 中二维离散傅里叶变换（DFT）的计算与可视化

2.1 计算 DFT

在 MATLAB 中，使用快速傅里叶变换（FFT）算法来计算 DFT 和其逆变换。计算图像数组 $f$ 的 FFT 可以使用 fft2 函数，其基本语法为：