25、量子多体系统中的张量网络与动力学模型

量子多体系统中的张量网络与动力学模型

1. 互信息与哈密顿量

在量子多体系统的研究中，互信息是一个重要的概念。通过一系列推导，可以得到互信息 (I (A : B)) 的一个上界：
[I (A : B) \leq \beta \left[ \text{tr}(H\rho_A^{\beta} \otimes \rho_B^{\beta}) - \text{tr}(H\rho^{\beta}) \right]]
将哈密顿量 (H) 分解为 (H = H_A + H_{\partial} + H_B)，其中 (H_A) 和 (H_B) 分别表示区域 (A) 和 (B) 内的相互作用项，(H_{\partial}) 表示连接这两个区域的相互作用项。可以发现，只有 (H_{\partial}) 部分对上述互信息上界的右侧有贡献。对于最近邻相互作用，互信息的上界可以简化为 (I (A : B) \leq 2\beta |h| |\partial A|)，其中 (|h|) 表示跨越边界的 (H) 所有项的最大特征值。这表明互信息的标度与经典情况类似，仅依赖于边界。

2. 量子态的张量网络表示

量子多体系统通常难以描述，对于一个包含 (N) 个二能级子系统的系统，指定其任意状态需要 (2^N) 个复数。经典计算机在存储和计算上都会面临巨大挑战。然而，完全可分离的状态可以用大约 (N) 个参数来描述，这表明量子态难以描述的原因在于量子关联或纠缠。

考虑一个包含 (N) 个 (d) 能级粒子的系统的一般状态：
[|\psi\rangle = \sum_{i_1,i_2,\cdots,i_N = 1}^{d} c_{i_1i_2\cdots i_N}