设A、B是n阶矩阵，且I+AB可逆，求证I+BA也可逆，且(I+BA)^1=I-B(I+AB)^1A.

因为I+AB可逆
所以(I+AB)(I+AB)^(-1)=I
(I+AB)^(-1)+AB(I+AB)^(-1)=I
B(I+AB)^(-1)+BAB(I+AB)^(-1)=B
(I+BA)[B(I+AB)^(-1)]=B
(I+BA)[B(I+AB)^(-1)]A=BA
(I+BA)[B(I+AB)^(-1)A]+I=BA+I
(I+BA)[I-B(I+AB)^(-1)A]=I
所以I+BA也可逆，且(I+BA)^(-1)=I-B(I+AB)^(-1)A

 

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