椭圆曲线代码及难点

# -*- coding:utf-8 *-
# author: DYBOY
# time: 2019-3-22 10:12:59
# description: ECC椭圆曲线加密算法实现
"""
    考虑K=kG ，其中K、G为椭圆曲线Ep(a,b)上的点，n为G的阶（nG=O∞ ），k为小于n的整数。
    则给定k和G，根据加法法则，计算K很容易但反过来，给定K和G，求k就非常困难。
    因为实际使用中的ECC原则上把p取得相当大，n也相当大，要把n个解点逐一算出来列成上表是不可能的。
    这就是椭圆曲线加密算法的数学依据

    点G称为基点（base point）

    k（k<n）为私有密钥（privte key）

    K为公开密钥（public key)
"""


def get_inverse(mu, p):
    """获取y的负元
    """
    for i in range(1, p):
        if (i*mu)%p == 1:
            return i
    return -1


def get_gcd(zi, mu):
    """
    获取最大公约数
    """
    if mu:
        return get_gcd(mu, zi%mu)
    else:
        return zi


def get_np(x1, y1, x2, y2, a, p):
    """
    获取n*p，每次+p，直到求解阶数np=-p
    """
    flag = 1  # 定义符号位（+/-）

    # 如果 p=q  k=(3x2+a)/2y1mod p
    if x1 == x2 and y1 == y2:
        zi = 3 * (x1 ** 2) + a  # 计算分子      【求导】
        mu = 2 * y1    # 计算分母

    # 若P≠Q，则k=(y2-y1)/(x2-x1) mod p
    else:
        zi = y2 - y1
        mu = x2 - x1
        if zi* mu < 0:
            flag = 0        # 符号0为-（负数）
            zi = abs(zi)
            mu = abs(mu)

    # 将分子和分母化为最简
    gcd_value = get_gcd(zi, mu)     # 最大公約數
    zi = zi // gcd_value            # 整除
    mu = mu // gcd_value
    # 求分母的逆元  逆元： ?a ∈G ，ョb∈G 使得 ab = ba = e
    # P(x,y)的负元是 (x,-y mod p)= (x,p-y) ，有P+(-P)= O∞
    inverse_value = get_inverse(mu, p)
    k = (zi * inverse_value)

    if flag == 0:                   # 斜率负数 flag==0
        k = -k
    k = k % p
    # 计算x3,y3 P+Q
    """
        x3≡k2-x1-x2(mod p)
        y3≡k(x1-x3)-y1(mod p)
    """
    x3 = (k ** 2 - x1 - x2) % p
    y3 = (k * (x1 - x3) - y1) % p
    return x3,y3


def get_rank(x0, y0, a, b, p):
    """
    获取椭圆曲线的阶
    """
    x1 = x0             #-p的x坐标
    y1 = (-1*y0)%p      #-p的y坐标
    tempX = x0
    tempY = y0
    n = 1
    while True:
        n += 1
        # 求p+q的和，得到n*p，直到求出阶
        p_x,p_y = get_np(tempX, tempY, x0, y0, a, p)
        # 如果 == -p,那么阶数+1，返回
        if p_x == x1 and p_y == y1:
            return n+1
        tempX = p_x
        tempY = p_y


def get_param(x0, a, b, p):
    """
    计算p与-p
    """
    y0 = -1
    for i in range(p):
        # 满足取模约束条件，椭圆曲线Ep(a,b)，p为质数，x,y∈[0,p-1]
        if i**2%p == (x0**3 + a*x0 + b)%p:
            y0 = i
            break

    # 如果y0没有，返回false
    if y0 == -1:
        return False

    # 计算-y（负数取模）
    x1 = x0
    y1 = (-1*y0) % p
    return x0,y0,x1,y1


def get_graph(a, b, p):
    """
    输出椭圆曲线散点图
    """
    x_y = []
    # 初始化二维数组
    for i in range(p):
        x_y.append(['-' for i in range(p)])

    for i in range(p):
        val =get_param(i, a, b, p)  # 椭圆曲线上的点
        if(val != False):
            x0,y0,x1,y1 = val
            x_y[x0][y0] = 1
            x_y[x1][y1] = 1

    print("椭圆曲线的散列图为：")
    for i in range(p):              # i= 0-> p-1
        temp = p-1-i        # 倒序

        # 格式化输出1/2位数，y坐标轴
        if temp >= 10:
            print(temp, end=" ")
        else:
            print(temp, end="  ")

        # 输出具体坐标的值，一行
        for j in range(p):
            print(x_y[j][temp], end="  ")
        print("")   #换行

    # 输出 x 坐标轴
    print("  ", end="")
    for i in range(p):
        if i >=10:
            print(i, end=" ")
        else:
            print(i, end="  ")
    print('\n')


def get_ng(G_x, G_y, key, a, p):
    """
    计算nG
    """
    temp_x = G_x
    temp_y = G_y
    while key != 1:
        temp_x,temp_y = get_np(temp_x,temp_y, G_x, G_y, a, p)
        key -= 1
    return temp_x,temp_y


def ecc_main():
    while True:
        a = int(input("请输入椭圆曲线参数a(a>0)的值："))
        b = int(input("请输入椭圆曲线参数b(b>0)的值："))
        p = int(input("请输入椭圆曲线参数p(p为素数)的值："))   #用作模运算

        # 条件满足判断
        if (4*(a**3)+27*(b**2))%p == 0:
            print("您输入的参数有误，请重新输入！！！\n")
        else:
            break

    # 输出椭圆曲线散点图
    get_graph(a, b, p)

    # 选点作为G点
    print("user1：在如上坐标系中选一个值为G的坐标")
    G_x = int(input("user1：请输入选取的x坐标值："))
    G_y = int(input("user1：请输入选取的y坐标值："))

    # 获取椭圆曲线的阶
    n = get_rank(G_x, G_y, a, b, p)

    # user1生成私钥，小key
    key = int(input("user1：请输入私钥小key（<{}）：".format(n)))

    # user1生成公钥，大KEY
    KEY_x,kEY_y = get_ng(G_x, G_y, key, a, p)

    # user2阶段
    # user2拿到user1的公钥KEY，Ep(a,b)阶n，加密需要加密的明文数据
    # 加密准备
    k = int(input("
    user2：请输入一个整数k（<{}）用于求kG和kQ：".format(n)))
    k_G_x,k_G_y = get_ng(G_x, G_y, k, a, p)                         # kG
    k_Q_x,k_Q_y = get_ng(KEY_x, kEY_y, k, a, p)                     # kQ

    # 加密
    plain_text = input("user2：请输入需要加密的字符串:")
    plain_text = plain_text.strip()
    #plain_text = int(input("user1：请输入需要加密的密文："))
    c = []
    print("密文为：",end="")
    for char in plain_text:
        intchar = ord(char)
        cipher_text = intchar*k_Q_x
        c.append([k_G_x, k_G_y, cipher_text])
        print("({},{}),{}".format(k_G_x, k_G_y, cipher_text),end="-")


    # user1阶段
    # 拿到user2加密的数据进行解密
    # 知道 k_G_x,k_G_y，key情况下，求解k_Q_x,k_Q_y是容易的，然后plain_text = cipher_text/k_Q_x
    print("\nuser1解密得到明文：",end="")
    for charArr in c:
        decrypto_text_x,decrypto_text_y = get_ng(charArr[0], charArr[1], key, a, p)
        print(chr(charArr[2]//decrypto_text_x),end="")

        #inverse_value = get_inverse(decrypto_text_x, p)
        #text = charArr[2]*inverse_value%p
        #print(text,end=" ")


if __name__ == "__main__":
    print("*************ECC椭圆曲线加密*************")
    ecc_main()

椭圆曲线的难点在于它的+运算，具体意思就是

当我们在计算2P的时候，并非是用2去乘以P的坐标然后再对23求模，而是先计算出k，再运行公式



这样就可以求出2P了，同样道理，就可以求出6P。
椭圆曲线的另一个难点在于阶。
如果椭圆曲线上一点P，存在最小的正整数n使得数乘nP=O ,则将n称为P的阶;
若n不存在，则P是无限阶的；
计算可得27P=-P=(3,13)；
所以28P=O ，即P的阶为28
这些点构成了一个循环阿贝尔群，其中生成元为P，阶数为29(加上无穷远点O)。显然点的分布与顺序都是杂乱无章。
以后再修改。