ECC算法简析，椭圆曲线密码，应用于国密SM2

SM2是国密算法的一部分，于2010年由国密局公布，属于非对称加密算法，本身是基于ECC椭圆曲线算法来实现的。

本文重在理清ECC算法的来龙去脉，关于无穷远点、摄影平面坐标系、Fp有限域、阿贝尔群等概念，要重点学习近世代数；关于代码实现部分，本文暂未说明。

 

一、射影平面的引入

近世代数中的几个小概念：

1关于无穷远点，可以理解为平面上两条平行线的交点；

2一组平行直线只有一个无穷远点；

3相交的两条平行直线有不同的无穷远点（易反正）；

4平面上全体无穷远点构成一条无穷远直线；

5全体平常点和全体无穷远点构成射影平面。

 

射影平面坐标系是对笛卡尔平面直角坐标系的扩展，能表示无穷远点，同时向下兼容笛

卡尔平面直角坐标系中的平常点。

 

对于笛卡尔直角坐标系中的平常点A(x,y)，令x=X/Z,y=Y/Z，Z!=0，则点A在射影平面坐标系中表示为A(X,Y,Z)，Z!=0。

直线在笛卡尔平面直角坐标系中的方程为ax+by+c=0，带入x=X/Z,y=Y/Z，得出射影平面坐标系中表示为aX+bY+cZ=0。

然后由两直线aX+bY+c1Z=0，aX+bY+c2Z=0，c1!=c2，易得出Z=0，即aX+bY=0，所以无穷远点在射影平面中用(X,Y,0)来表示。

综上，射影平面坐标系中包括两类点，一类是平常点(X,Y,Z),Z!=0，另一类是无穷远点(X,Y,0)。

 

二、椭圆曲线的定义

射影平面坐标系上满足威尔斯特拉斯方程（Weierstrass）所有点的集合

Y2Z+a1XYZ+a3YZ2=X3+a2X2Z+a4XZ2+a6Z3Y2Z+a1XYZ+a3YZ2=X3+a2X2Z+a4XZ2+a6Z3，组成一条椭圆曲线。

    并满足：

1椭圆曲线方程是一个齐次方程，所有项的次数都是三。

2曲线上的每个点都必须是非奇异的（光滑的），偏导数FX(X,Y,Z)、FY(X,Y,Z)、FZ(X,Y,Z)不同为0，即曲线上所有点都可微。