范数的概念-Norm

1 范数-Norm- the concept

向量的范数可以简单形象的理解为向量的长度,或者向量到零点的距离,或者相应的两个点之间的距离。

向量的范数定义:向量的范数是一个函数||x||, 满足:

    非负性||x|| >= 0,齐次性||cx|| = |c| ||x|| ,三角不等式||x+y|| <= ||x|| + ||y||。

常用的向量的范数:
L1范数:  ||x|| 为x向量各个元素绝对值之和。
L2范数:  ||x||为x向量各个元素平方和的1/2次方,L2范数又称Euclidean范数或者Frobenius范数
Lp范数:  ||x||为x向量各个元素绝对值p次方和的1/p次方

L∞范数:  ||x||为x向量各个元素绝对值最大那个元素的绝对值,如下:

椭球向量范数: ||x||A  = sqrt[T(x)Ax], T(x)代表x的转置。定义矩阵C 为M个模式向量的协方差矩阵, 设C’是其逆矩阵,则Mahalanobis距离定义为||x||C’  = sqrt[T(x)C’x], 这是一个关于C’的椭球向量范数。

2 距离-Distance-Concept

    欧式距离(对应L2范数):最常见的两点之间或多点之间的距离表示法,又称之为欧几里得度量,它定义于欧几里得空间中。n维空间中两个点x1(x11,x12,…,x1n)与 x2(x21,x22,…,x2n)间的欧氏距离:

也可以用表示成向量运算的形式:

  

曼哈顿距离:曼哈顿距离对应L1-范数,也就是在欧几里得空间的固定直角坐标系上两点所形成的线段对轴产生的投影的距离总和。例如在平面上,坐标(x1, y1)的点P1与坐标(x2, y2)的点P2的曼哈顿距离为:,要注意的是,曼哈顿距离依赖座标系统的转度,而非系统在座标轴上的平移或映射。

切比雪夫距离,若二个向量或二个点x1和x2,其坐标分别为(x11, x12, x13, ... , x1n)和(x21, x22, x23, ... , x2n),则二者的切比雪夫距离为:d = max(|x1i - x2i|),i从1到n。对应L∞范数。

闵可夫斯基距离(Minkowski Distance)闵氏距离不是一种距离,而是一组距离的定义。对应Lp范数,p为参数。

闵氏距离的定义:两个n维变量(或者两个n维空间点)x1(x11,x12,…,x1n)与 x2(x21,x22,…,x2n)间的闵可夫斯基距离定义为: 

其中p是一个变参数。

当p=1时,就是曼哈顿距离,

当p=2时,就是欧氏距离,

当p→∞时,就是切比雪夫距离,       

根据变参数的不同,闵氏距离可以表示一类的距离。 

Mahalanobis距离:也称作马氏距离。在近邻分类法中,常采用欧式距离和马氏距离。

 

参考资料:http://blog.youkuaiyun.com/v_july_v/article/details/8203674

<think>好的,用户现在问的是Layer Normalization(层归一化),也就是Layer-Norm。我需要先回顾之前对话的历史,看看之前的交流是否有关联。用户之前问过L1范数,现在转向了深度学习的归一化技术,可能是在学习机器学习或深度学习的基础知识,尤其是模型训练中的优化技术。 首先,我要确定用户对Layer-Norm的了解程度。可能用户已经了解过Batch Normalization(批归一化),因为Layer-Norm通常和它对比讲解。用户可能想知道Layer-Norm是什么,它的作用,与BN的区别,以及应用场景等。 接下来,我需要组织回答的结构。通常介绍一个概念可以从定义、动机、计算方法、与BN的区别、优点、应用场景和代码示例这几个方面展开。需要确保内容清晰,层次分明,同时避免过于技术化的术语,保持易懂。 要确认Layer-Norm的核心思想:针对单个样本的所有特征进行归一化,而不是像BN那样针对一个批次的数据在同一个特征上进行归一化。这有助于解决BN在小批次或动态网络中效果不佳的问题,尤其在NLP和RNN中应用广泛。 需要注意用户可能的潜在需求,比如为什么需要Layer-Norm,它解决了什么问题,实际中如何应用。例如,用户可能在训练Transformer模型时遇到了问题,需要了解Layer-Norm的作用。 同时,要对比Layer-Norm和Batch Norm的区别,强调各自的适用场景。比如,BN依赖于批次大小,在批次较小时效果差,而LN不依赖批次,适合动态网络结构。 可能还需要提到Layer-Norm的数学公式,即对每个样本的均值和方差进行计算,然后标准化,并加入可学习的参数gamma和beta。这部分需要简明扼要,避免数学细节过多,但要让用户理解基本步骤。 在应用场景方面,可以举例如Transformer中的使用,RNN中的稳定性提升,以及小批量或在线学习的情况。这些例子能帮助用户更好地理解其实际用途。 最后,给出一个简单的代码示例,比如用PyTorch实现Layer-Norm,这样用户可以参考代码加深理解。同时,总结优缺点,帮助用户权衡何时使用Layer-Norm。 需要检查是否有遗漏的重要点,例如Layer-Norm的变体(如Group Norm等),但可能用户现阶段只需要基础内容,所以可以暂时不提,保持回答的简洁性。 最后,确保语言口语化,避免使用专业术语堆砌,用通俗易懂的中文解释概念,让用户能够轻松理解。</think>以下是关于 **Layer Normalization(层归一化)** 的详细介绍: --- ### **1. 层归一化的定义** **Layer Normalization**(Layer-Norm)是一种用于深度神经网络中的归一化技术,旨在解决训练过程中因数据分布变化(Internal Covariate Shift)导致的梯度不稳定问题。 它通过对 **单个样本** 的所有特征进行归一化,使网络各层的输入分布保持稳定,从而加速训练并提升模型泛化能力。 --- ### **2. 核心思想** - **与BatchNorm的区别**: - **BatchNorm**:对同一批次(batch)中所有样本的 **同一特征** 进行归一化(依赖批次维度)。 - **LayerNorm**:对 **单个样本** 的所有特征(即同一层的神经元输出)进行归一化(独立于批次维度)。 - **适用场景**: - 小批次(Batch Size较小)或动态网络结构(如RNN、Transformer)。 - 自然语言处理(NLP)任务中广泛使用(如BERT、GPT等模型)。 --- ### **3. 数学公式** 对于一个输入向量 \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d\)(d为特征维度),Layer-Norm的计算步骤如下: 1. **计算均值和方差**: \[ \mu = \frac{1}{d} \sum_{i=1}^{d} x_i, \quad \sigma^2 = \frac{1}{d} \sum_{i=1}^{d} (x_i - \mu)^2 \] 2. **标准化**: \[ \hat{x}_i = \frac{x_i - \mu}{\sqrt{\sigma^2 + \epsilon}} \quad (\epsilon \text{为防除零的小常数,如} 10^{-5}) \] 3. **缩放和平移**: \[ y_i = \gamma \hat{x}_i + \beta \] 其中,\(\gamma\) 和 \(\beta\) 是可学习的参数,用于恢复归一化后特征的表达能力。 --- ### **4. 核心优势** - **不依赖批次大小**:对批次大小不敏感,适合动态网络(如RNN不同时间步的输入长度不同)。 - **稳定训练过程**:缓解梯度消失/爆炸,允许使用更大的学习率。 - **适合序列数据**:在NLP中,同一层的特征(如词向量)具有相似语义,归一化更合理。 --- ### **5. 与BatchNorm的对比** | **特性** | **LayerNorm** | **BatchNorm** | |------------------|---------------------------------------------------|---------------------------------------------------| | **归一化维度** | 对单个样本的所有特征(横向) | 对批次中所有样本的同一特征(纵向) | | **依赖关系** | 不依赖批次大小,适合小批次或在线学习 | 依赖足够大的批次,小批次时效果差 | | **适用场景** | RNN、Transformer、NLP任务 | CNN、图像分类任务 | | **参数数量** | 每层需学习 \(\gamma\) 和 \(\beta\)(参数少) | 每层每个通道需学习 \(\gamma\) 和 \(\beta\)(参数多) | --- ### **6. 实际应用示例** #### **(1) Transformer模型** - **位置**:Transformer的每个子层(自注意力层、前馈层)后均使用Layer-Norm- **作用**:稳定训练,防止梯度异常。 #### **(2) RNN/LSTM** - **位置**:在每个时间步的隐藏状态后应用Layer-Norm- **作用**:缓解梯度随时间步衰减的问题,提升长序列建模能力。 #### **(3) 小批次训练** - **场景**:当批次大小受限时(如GPU显存不足),Layer-Norm比BatchNorm更稳定。 --- ### **7. 代码实现(PyTorch)** ```python import torch import torch.nn as nn # 定义LayerNorm层(d_model为特征维度) layer_norm = nn.LayerNorm(d_model) # 输入数据(batch_size=2, 特征维度=512) x = torch.randn(2, 512) y = layer_norm(x) # 输出归一化后的结果 ``` --- ### **8. 总结** - **核心价值**:通过特征维度的归一化,稳定深度网络的训练,减少对超参数(如学习率)的依赖。 - **适用领域**:NLP、RNN、小批次训练、动态网络结构。 - **局限性**:在图像任务中效果通常不如BatchNorm,需根据任务选择归一化方法。
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