RMQ问题

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#算法 #query #table #扩展

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RMQ (Range Minimum/Maximum Query)问题是指：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n)，返回数列A中下标在[i,j]里的最小(大）值，也就是说，RMQ问题是指求区间最值的问题

　　主要方法及复杂度如下

　　1.朴素（即搜索） O(n)-O(n) online

　　2.线段树 O(n)-O(qlogn) online

　　3.ST（实质是动态规划） O(nlogn)-O(1) offline

　　ST算法（Sparse Table），以求最大值为例，设d[i,j]表示[i,i+2^j-1]这个区间内的最大值，那么在询问到[a,b]区间的最大值时答案就是max(d[a,k], d[b-2^k+1,k])，其中k是满足2^k<=b-a的最大的k,即k=[ln(b-a+1)/ln(2)]

　　d的求法可以用动态规划，d[i,j]=max(d[i,j-1],d[i+2^(j-1),j-1])

　　代码如下

　　Read(n, q);

　　for i := 1 to n do

　　Read(d[i, 0]);

　　for j := 1 to Trunc(Ln(n) / Ln(2)) do

　　for i := 1 to n - 1 shl j + 1 do

　　d[i,j] := Max(d[i,j-1], d[i+1 shl (j-1),j-1]);

　　for i := 1 to q do

　　begin

　　Read(a, b);

　　k := Trunc(Ln(b - a + 1) / Ln(2));

　　rmq := Max(d[a, k], d[b - 1 shl k + 1, k]);

　　Writeln(rmq);

　　end;

　　RMQ(Range Minimum/Maximum Query)问题是求区间最值问题。你当然可以写个O(n)的（怎么写都可以吧=_=),但是万一要询问最值1000000遍，估计你就要挂了。这时候你可以放心地写一个线段树（前提是不写错）O（logn)的复杂度应该不会挂。但是，这里有更牛的算法，就是ST算法，它可以做到O(nlogn)的预处理，O(1)！！！地回答每个询问。

　　来看一下ST算法是怎么实现的(以最大值为例）：

　　首先是预处理，用一个DP解决。设a是要求区间最值的数列，f表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7 ,f[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。f[1，2]=5，f[1，3]=8，f[2，0]=2，f[2，1]=4……从这里可以看出f其实就等于a。这样，Dp的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。我们把f平均分成两段（因为f一定是偶数个数字），从i到i+2^(j-1)-1为一段，i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段(长度都为2^（j-1）)。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。f就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动规方程F=max（F,F）.

　　接下来是得出最值，也许你想不到计算出f有什么用处，一般毛想想计算max还是要O(logn)，甚至O(n)。但有一个很好的办法，做到了O（1）。还是分开来。如在上例中我们要求区间[2，8]的最大值，就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间，因为这两个区间的最大值我们可以直接由f[2，2]和f[5，2]得到。扩展到一般情况，就是把区间[l，r]分成两个长度为2^n的区间（保证有f对应）。直接给出表达式：

　　k:=ln(l(r-l+1)/ln(2));

　　ans:=max(F[l，k],F[r-2^k+1,k]);

　　这样就计算了从i开始，长度为2^t次的区间和从r-2^i+1开始长度为2^t的区间的最大值（表达式比较烦琐，细节问题如加1减1需要仔细考虑

RMQ问题 (Range Minimum/Maximum Query)，首先给出一个序列，然后不断询问某个区间内的最大值和最小值。显然，我们在回答所有询问之前，需要根据序列进行一定的预处理。

一种算法是采用线段树，即在线段树的每个节点保存该区间的最大值与最小值，O(n)的预处理时间（需要自底向上构建），可以O(logn)地回答每个问题。

另一种算法就是神奇的ST算法（Sparse Table），以求最大值为例，设v[n][f]表示[n,n+2^f)这个区间内的最大值，那么在询问到[a,b)区间的最大值时答案就是max(v[a][f],v[b-2^f][f])，其中f是满足2^f<=b-a的最大的f。至于那张稀疏表，可以用递推的方法在O(nlogn)（也就是表的元素数）的时间内构建。也就是说v[n][f]=max(v[n][f-1],v[n+2^(f-1)][f])。

另外，RMQ问题与LCA（Least Common Ancestors，最近公共祖先）问题可以互相转化。LCA问题有一个经典的离线算法Tarjan算法，稍后我将会介绍。

程序：
lineupg.it.cpp（线段树，因询问较多，无法AC本题）
lineupg.st.cpp（ST算法）
(USACO Jan07 Gold lineupg)

April 11, 2007 · Filed under 程序园