[Haoi 2008] bzoj1045 糖果传递 [数学]

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本文介绍了一种解决n个小朋友围成一圈传递糖果问题的算法，目标是找到传递糖果的最优解，使得总代价最小。通过设定变量和推导公式，最终采用中位数策略求得最小代价。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description:
有 $n$ 个小朋友坐成一圈，每人有 $a_i$ 个糖果。每人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一个糖果代价为 $1$ 。求代价最小。

Solution:
设第 $i-1$ 个人传给第 $i$ 个人 $x_i$ 个，那么
$x_{i}-x_{i+1}+a_i=v$
那么我们得出
$x_{i+1}=x_{i}+a_i-v$
设 $c_i=v-a_i$
那么
$x_2=x_1-c_1$
$x_3=x_2-c_2=x_1-c_1-c_2$
对 $c_i$ 做前缀和
得出
$x_i=x_1-s_{i-1}$
那么答案是
$\sum_{i=1}^{n}{|s_{i-1}-x_1|}$
自然 $x_1$ 取的中位数时答案最小。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6 + 5;
int n;
ll v, ans;
ll a[maxn], s[maxn];
int read() {
    int x = 0, f = 1;
    char c = getchar();
    while(!isdigit(c)) {
        if(c == '-') {
            f = -1;
        }
        c = getchar();
    }
    while(isdigit(c)) {
        x = x * 10 + c - '0';
        c = getchar();
    }
    return x * f;
}
int main() {
    n = read();
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        a[i] = read();
        v += a[i];
    }
    v /= n;
    for(int i = 2; i <= n; ++i) {
        s[i] = s[i - 1] + a[i] - v;
    }
    sort(s + 1, s + n + 1);
    ll t = s[(n + 1) / 2];
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        ans += abs(s[i] - t);
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}