bzoj 1045: [HAOI2008] 糖果传递 （数学相关）

题目描述

传送门

题目大意：　有n个小朋友坐成一圈，每人有ai个糖果。每人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一个糖果代价为1。求使所有人获得均等糖果的最小代价。

题解

设$x_i$表i给i+1传递的糖果的数量
那么我们可以得到n个方程
$x_n-x_1=\bar a -a_1$
$x_1-x_2=\bar a -a_2$
$x_2-x_3=\bar a -a_3$
$\cdots$
$x_{n-1}-x_n=\bar a -a_n$
那么对于方程做前缀和就能得到n个新的方程
$x_n-x_i=\sum_{j=1}^i \bar a-a_j$
对于上面的方程进行变形，就能表示出$x_i$
$x_i=x_n-\sum_{j=1}^i \bar a-a_j$
我们的目标就是要最小化$ans=\sum_{i=1}^n |x_i|=\sum_{i=1}^n (x_n-\sum_{j=1}^i \bar a-a_j)$
对于$x_n$的取值，可以是不超过总和的任意值，显然所有的前缀和一定都在合法的范围之内。
那么我们只要让$x_n$取到$x_n-\sum_{j=1}^i \bar a-a_j$中的中位数即可。

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define N 1000003
#define LL long long 
using namespace std;
LL a[N],sum;
int n;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]),sum+=a[i];
    sum/=n;
    a[1]=sum-a[1];
    for (int i=2;i<=n;i++){
        int t=sum-a[i];
        a[i]=a[i-1]+t;
    }
    sort(a+1,a+n+1);
    LL t=a[n/2+1]; LL ans=0;
    for (int i=1;i<=n;i++) ans+=abs(t-a[i]);
    printf("%lld\n",ans);
}