bzoj 1045 题解

简单dp

首先，最终每个小朋友的糖果数量可以计算出来，等于糖果总数除以n，用ave表示。

假设标号为i的小朋友开始有Ai颗糖果，Xi表示第i个小朋友给了第i-1个小朋友Xi颗糖果，如果Xi<0，说明第i-1个小朋友给了第i个小朋友Xi颗糖果，X1表示第一个小朋友给第n个小朋友的糖果数量。 所以最后的答案就是ans=|X1| + |X2| + |X3| + ……+ |Xn|。

对于第一个小朋友，他给了第n个小朋友X1颗糖果，还剩A1-X1颗糖果；但因为第2个小朋友给了他X2颗糖果，所以最后还剩A1-X1+X2颗糖果。根据题意，最后的糖果数量等于ave，即得到了一个方程：A1-X1+X2=ave。

同理，对于第2个小朋友，有A2-X2+X3=ave。最终，我们可以得到n个方程，一共有n个变量，但是因为从前n-1个方程可以推导出最后一个方程，所以实际上只有n-1个方程是有用的。

尽管无法直接解出答案，但可以用X1表示出其他的Xi，那么本题就变成了单变量的极值问题。

对于第1个小朋友，A1-X1+X2=ave  ->  X2=ave-A1+X1 = X1-C1(假设C1=A1-ave，下面类似）

对于第2个小朋友，A2-X2+X3=ave  ->  X3=ave-A2+X2=2ave-A1-A2+X1=X1-C2

对于第3个小朋友，A3-X3+X4=ave  ->  X4=ave-A3+X3=3ave-A1-A2-A3+X1=X1-C3

……

对于第n个小朋友，An-Xn+X1=ave。

  我们希望Xi的绝对值之和尽量小，即|X1| + |X1-C1| + |X1-C2| + ……+ |X1-Cn-1|要尽量小。注意到|X1-Ci|的几何意义是数轴上的点X1到Ci的距离，所以问题变成了：给定数轴上的n个点，找出一个到他们的距离之和尽量小的点，而这个点就是这些数中的中位数，证明略。

其实上面不是我写的，只是告诉你们怎么推出c，然后就是取中位数罢了

就是拼命给别人

Code：

/**************************************************************
    Problem: 1045
    User: wohenshuai
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:2204 ms
    Memory:14164 kb
****************************************************************/
 
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
using namespace std;
int a[1100000];
int s[1100000];
int n;
long long sum;
void Input()
{
  scanf("%d",&n);
  for(int i=1;i<=n;i++)
  {
    scanf("%d",&a[i]);
    sum+=a[i];
  }
  sum/=n;
}
int f[1100000];
long long ans=0;
void Solve()
{
  for(int i=1;i<=n;i++)
    s[i]=s[i-1]-sum+a[i];
  sort(s+1,s+n+1);
  long long k=s[n/2];
  for(int i=1;i<=n;i++)
    ans+=abs(s[i]-k);
}
void Output()
{
  printf("%lld\n",ans);
}
int main()
{
  Input();
  Solve();
  Output();
  return 0;
}