bzoj2863图上的DP题

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这题解最后一步似乎没讲清如何容斥的，或许是在大佬眼里，这过于显然（也可能是容斥的某个常用公式？）然而我并不知道，还是证一下吧。
对于有$i$个点的图，记至少有j个入度为0的结点的DAG数量是
$a[j]=\dbinom{i}{j}∗2^{j*(i-j)}∗f[i−j]$
并用$b[j]$表示恰好有j个入度为0的结点的DAG数量
那么，$f[i]=\sum_{j=0}^ib[j]$
考虑至少有j个入度为0的节点的DAG中统计进了k（$j\le k$）个节点，那么$a[j]=\sum_{k=j}^i\dbinom{k}{j}b[j]$
所以，$\sum_{j=0}^i(-1)^{j-1}a[j]=\sum_{j=0}^i(-1)^{j-1}\sum_{k=j}^i\dbinom{k}{j}b[j]$
把里层的和号提出来，就有$\sum_{j=0}^i(-1)^{j-1}\sum_{k=j}^i\dbinom{k}{j}b[j]=\sum_{j=1}^ib[j]\sum_{k=1}^j\dbinom{j}{k}(-1)^{k-1}$
利用二项式定理，$\dbinom{j}{k}(-1)^{k-1}$等于一，然后就好了。

#include<cstdio> 
const int N=3010,mo=1000000007;
int c[N][N],f[N],tw[N*N],i,j,n,x;
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(i=**c=1;i<=n;++i)
        for(j=*c[i]=1;j<=i;++j)c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mo;
    for(i=*f=*tw=1,j=n>>1;i<=j*(n-j);++i)tw[i]=(tw[i-1]<<1)%mo;
    for(i=1;i<=n;++i)
        for(j=x=1;j<=i;++j,x=-x)
            f[i]=(f[i]+1ll*x*tw[j*(i-j)]*c[i][j]%mo*f[i-j]%mo+mo)%mo;
    printf("%d\n",f[n]);
    return 0;
}