d叉堆

d叉堆

分类： 算法导论习题 2011-03-08 20:57  880人阅读  评论(7)  收藏  举报

exchange insert c

6-2 对d叉堆的分析
    d叉堆有与二叉堆很类似，但（一个可能的例外是）其中的每个非叶结点有d个子女，而不是2个。
    a）如何在一个数组中表示一个d叉堆？

    b）含n个元素的的叉堆的高度是多少？

    c）给出d叉最大堆的EXTRACT-MAX的一个有效实现，并用d和n表示出它的运行时间。

    d）给出d叉堆的INSERT的一个有效实现，并用d和n表示出它的运行时间。

    e）给出INCREASE-KEY(A, i, k)的一个有效实现，该过程首先执行A[i]<--max(A[i], k), 并相应的更新d叉最大堆的结构。请用d和n表示出它的运行时间。

 

分析与解答：

    类似于二叉堆，可以用数组来表示

    a）在数组中表示d叉堆，给定了每个结点的下标i，其父结点PARENT(i)和它的第k个儿子，可以简单的计算出来:

         PARENT(i) = ⌈i/d⌉

         CHILD(i,k) = d*i+k,   0≦k<d

 

    b）高度为h的一个满的d叉堆的结点个数为d^h-1。假设若n个元素的d叉堆高度为h，则

                             d^(h-1)≦n≦d^h-1

       由此可得 d= ⌈logd(n)⌉

 

    c) 可以先将堆末元素和堆顶的元素交换，然后再采用MAX-HEAPIFY的方法调整堆顶元素，整个过程如下：

   

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1. HEAP-EXTRACT-MAX(A)  
2. if heap-size[A]<1  
3.    then error "heap underflow"  
4. max←A[1]  
5. A[1]←A[heap-size[A]]  
6. heap-size[A]←heap-size[A]-1  
7. MAX-HEAPIFY(A,1)  
8. return max  

    其中MAX-HEAPIFY是一个递归过程，迭代次数小于堆的高度logd(n)。而，每次迭代的过程中都需要和所有的儿子结点进行比较，故比较次数为d。总的时间运行时间为dlogd(n)

 

   d）可以首先将-∞插入到堆末，然后将这个元素的值调用INCREASE-KEY增大到当前值。整个过程如下：

   

[c-sharp]  view plain copy

1. MAX-HEAP-ISNERT(A, key)  
2. heap-size←heap-size+1  
3. A[heap-size]←-∞  
4. INCREASE-KEY(A, heap-size[A], key)  

    从接下来的也可以看到，它和INCREASE-KEY过程的运行时间相同，也为logd(n)

 

  e）可以迭代的实现，每次只需要和父结点比较，然后逐渐往上调整即可，整个过程如下：

   

[c-sharp]  view plain copy

1. INCREASE-KEY(A,i,k)  
2. A[i]←max(A[i],k)  
3. while i>1 and  A[i]> A[parent(i)]  
4.    do exchange A[i]↔A[parent(i)]  
5.       i←parent(i)  

   因为while循环中最多往上调整的次数为堆的高度，并且每次只需要和父亲结点进行比较，因此总的运行时间为logd(n)