[ MATLAB ] 傅里叶变换（一）：傅里叶级数（正余弦表示）

前言

通信相关的铁子们想必对傅里叶变换这个概念有所了解，其可以从频域分析信号特性，可以说是通信系统分析和设计的重要依据。然而，傅里叶变换种类繁多，傅里叶级数（FS）、傅里叶变换（FT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）、离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）等等。概念多了总是容易打架，例如：

1. 傅里叶级数（FS）为什么要引入复频谱？其优势在哪？
2. 为什么傅里叶变换（FT）的频谱称为谱密度？在拥有谱密度的前提下，如何依据定义还原出时域信号？
3. 离散时间傅里叶变换（DTFT）的横坐标为什么是数字频谱？和模拟频率有什么关联和区别？
4. 离散傅里叶变换（DFT）的隐含周期性体现在哪里？
5. 为什么要引入快速傅里叶变换（FFT）？

为了解释这些问题，纯粹依靠教科书上的数学公式，理解是有些困难的（聪明蛋除外）。因此，我们希望依据Matlab仿真，不仅可以直观理解这些变换之间的关系，体验数学公式背后的隐藏信息，并且，能够建立通信仿真的基本概念，为以后更加复杂的链路级，甚至是系统级通信仿真打下坚实基础。话不多说，我们先从最基本的傅里叶级数开始。

傅里叶级数（FS）的正余弦表示

理论回顾

若$x(t)$是周期性连续时间信号，那么$x(t)$可由三角函数的线性组合表示，即展开为傅里叶级数。设$x(t)$周期为$T$，模拟角频率${\Omega }_0=\frac{2\pi }{T}$，模拟频率$F=\frac{1}{T}=\frac{{\Omega }_0}{2\pi }$，则傅里叶级数展开表达式为：
$$x\left(t\right)=a_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_n\cos \left(n{\Omega }_{0}t\right)+b_n\sin \left(n{\Omega }_{0}t\right)\right]$$
其中，$n$为表示谐波次数。各次谐波成分的幅度值计算如下：
$$a_0=\frac{1}{T}\underset{t_0}{\overset{t_0+T}{\int }}x\left(t\right)dt$$

$$a_n=\frac{2}{T}\underset{t_0}{\overset{t_0+T}{\int }}x\left(t\right)\cos \left(n{\Omega }_{1}t\right)dt$$

$$b_n=\frac{2}{T}\underset{t_0}{\overset{t_0+T}{\int }}x\left(t\right)\sin \left(n{\Omega }_{1}t\right)dt$$

通常积分区间为$0\to T$。

当然能够进行傅里叶级数展开的周期信号，必须满足**“Dirichlet”**条件，但是这里并不展开描述。

Matlab仿真验证

上述理论中都是数学公式，很难形成直观印象，并且理解也很难深刻。下面通过Matlab仿真对理论进行验证梳理。

• 步骤1：实现连续周期信号$x(t)$

在实现之前首先考虑两个问题：（1）周期信号的定义域为$\left(-\infty ,\infty \right)$，Matlab中可能实现吗？（2）连续信号代表时域上由无穷多的取值，这在计算机中可能做到吗？

显然，在仿真中我们无法实现一个满足定义域无穷，且时间取值无穷的信号。因此，我们需要对相关要求进行松弛/替代。（1）周期信号：定义域无穷$\to$定义域包含整数个周期；（2）连续信号：时域无穷取值 $\to$ 采用符号时间变量。

syms t;  % 连续时间变量
T = 2;  % 周期
periodic_signal = rectangularPulse(t)+rectangularPulse(t-T)+rectangularPulse(t-2*T);  % 周期信号
ezplot(periodic_signal,[-0.5, -0.5+3*T]);  % 绘制周期信号

• 步骤2：原始定义计算谐波分量，从而进行线性组合

这里采用原始定义进行验证，计算各次谐波对应的幅值，频率并进行线性组合，最终的叠加信号应该逼近原始的周期信号。与步骤1类似，虽然线性组合的谐波项数$n$应该是无穷，但是在实际仿真中，我们只能取有限项数。

n = 5;  %　谐波次数
components = sym('c',[2,n]);  % 谐波矩阵
a_0 = 1/T*int(periodic_signal,0,T);  % 直流分量
for ii=1:n
    a_n = 2/T*int(periodic_signal*cos(ii*2*pi/T*t),0,T);  % 余弦分量
    b_n = 2/T*int(periodic_signal*sin(ii*2*pi/T*t),0,T);  % 正弦分量
    components(1,ii) = a_n*cos(ii*2*pi/T*t);
    components(2,ii) = b_n*sin(ii*2*pi/T*t);
end 
signal_approximate = a_0+sum(sum(components));  % 求和/线性叠加近似

步骤3：绘制$x(t)$和叠加近似信号图像，进行直观验证
在此基础上，进一步增加谐波次数（$n=20$），可以发现逼近效果更好。由此，不难预见，当谐波次数趋近于无穷时，可以完全逼近原始信号$x(t)$。

仿真总结

1. 模拟角频率${\Omega }_0$，说的俗一点，就是三角函数里面的角频率。单位：rad/s；物理意义：1s内转动的圈数。这与离散时间傅里叶变换（DTFT）中的数字角频率区别。
2. 周期连续信号在实际应用中无法实现，我们更喜欢非周期，离散的信号/函数。
3. 依据正余弦定义，从而逼近原始信号$x(t)$需要三个式子计算$a_0,a_n,b_n$。虽然这已经比较简便了，但是总希望用更少的式子进行计算。因此，我们将引入复频谱表示，这将在下一篇文章中进行验证。

创作不易，希望铁子们可以给出宝贵的建议，这将是我这个小菜猫不断前进的动力，谢谢！