[Matlab-2]傅里叶级数(Fourier Series)

周期延拓

在遇到非周期函数尤其是一段函数时，我们常常将其周期延拓


在时域下，表达式为

如下方波的傅里叶级数为

数值法实现傅里叶级数展开（Realize Fourier Series with Numeric Method ）

Loop形式

% numeric method: loop function, trapz
clear;clf;
T = 2; f = 1/T; w1 = 2*pi*f;
dt = 0.01;
t = -2:dt:2;
tao = -0.5:dt:0.5;
a0 = trapz(tao,tao.^0)/T;
f = a0;
N = input('N=');
an = zeros(1,N);
bn = zeros(1,N);
for n = 1:N
 fcos = 1.*cos(n*w1*tao); an(n)=trapz(tao,fcos)*2/T;
 fsin = 1.*sin(n*w1*tao); bn(n)=trapz(tao,fsin)*2/T;
 f = f+ an(n)*cos(n*w1*t)+bn(n)*sin(n*w1*t);
end
plot(t,f);xlabel('t(s)');ylabel('ft'); grid on;
title(['Numeric Loop with N=' num2str(N)]);

矩阵形式

Matlab在矩阵计算上有着其他软件难以企及的优势，所以通过数学公式变化，我们也可以将其写成矩阵形式

% numeric method: matrix calculation
clear; clf;
T = 2; f = 1/T; w1 = 2*pi*f;
dt = 0.01;
t = -2:dt:2;
tao = -0.5:dt:0.5;
a0 = trapz(tao,tao.^0)/T;
N = input('N=');
n = 1:N;
fcos = 1.*cos(n'*w1*tao); an = trapz(tao,fcos,2)*2/T;
fsin = 1.*sin(n'*w1*tao); bn = trapz(tao,fsin,2)*2/T;
f = a0 + an'*cos(n'*w1*t) + bn'*sin(n'*w1*t);
plot(t,f); xlabel('t(s)');ylabel('ft'); grid on;
title(['Numeric Matrix with N=' num2str(N)]);

符号法实现傅里叶级数展开（Realize the Fourier Series with Symbolic Method ）

Loop结构

% Symbolic method: loop function, int
clear; clf;
N = input('N=');
syms t1 a0 an bn n
T1 = 2; f = 1/T1; w1 = 2*pi*f;
range = [-0.5,0.5];
a0 = 1/T1*int(t1^0,t1,range);
f = a0;
for n=1:N
 an = 2/T1*int(cos(n*w1*t1),t1,range);
 bn = 2/T1*int(sin(n*w1*t1),t1,range);
 f = f+an*cos(n*w1*t1)+bn*sin(n*w1*t1);
end
fplot(f); xlabel('t');ylabel('y(t)');
title(['Symbolic Loop with N=' num2str(N)]);
axis([-2,2,-0.2,1.2]); grid on;

吉布斯现象（Gibbs Phenomenon）

在进行高阶展开时。我们常常能遇到下面这些问题，在断点处的峰值不随N变大而减小，这就是所谓的吉布斯现象

不同形式的傅里叶级数

另一种三角形式

指数形式（complex exponential form）

三角与指数形式之间的关系

样例（Sample）