树结构的特点：
1他是一种层次关系的结构，每一层的元素可能与下一层的多个数据元素（孩子）相关，但只和上一层中的一个数据元素相关；
2每一个元素（除了整棵树的根节点之外）都可以递归地看做根节点，以及上一层节点的左孩子或者右孩子。树的遍历依据的就是这一思路；
二叉树的创建与操作：
定义二叉树的节点：
typedef struct node
{
char data; //二叉树的数据，可以是任何类型
struct node *lchild,*rchild; //指向该节点左孩子与右孩子的指针
}tree;
二叉树的遍历：
思想：递归地访问每一层的根节点，这就遍历了树的各个节点；
1先序遍历：
方法：1访问该层的根节点；
2递归地访问该层的左孩子；
3递归地访问该层的右孩子；
PreOrderTraverse(tree *T)
{
if(T) //递归的结束条件：孩子节点为空，即T为空指针
{
visit(T->data); //递归地访问每一层的根节点，visit函数体里写的是对每个节点要做的事
PreOrderTraverse(T->lchild );//先序遍历T的左子树
PreOrderTraverse(T->rchild);//先序遍历T的右子树
}
}
2中序遍历
方法： 1递归地访问该层的左孩子；
2访问该层的根节点；
3递归地访问该层的右孩子；
InOrderTraverse(tree *T)
{
if(T) //递归的结束条件：孩子节点为空，即T为空指针
{
InOrderTraverse(T->lchild );//中序遍历T的左子树
visit(T->data); //递归地访问每一层的根节点，visit函数体里写的是对每个节点要做的事
InOrderTraverse(T->rchild);//中序遍历T的右子树
}
}
3后序遍历
方法： 1递归地访问该层的左孩子；
2递归地访问该层的右孩子；
3访问该层的根节点；
PosOrderTraverse(tree *T)
{
if(T) //递归的结束条件：孩子节点为空，即T为空指针
{
PosOrderTraverse(T->lchild );//中序遍历T的左子树
visit(T->data); //递归地访问每一层的根节点，visit函数体里写的是对每个节点要做的事
PosOrderTraverse(T->rchild);//中序遍历T的右子树
}
}
树的创建：
二叉树的创建是通过树的遍历实现的：
遍历着创建节点，如果节点不是终结，则对节点的数据成员赋值；否则对指针赋予NULL；
因为后者要在函数体内对指针赋值（赋空指针），所以需要把指针（树节点类型）的指针作为参数传入函数体内：
void CreateTree(tree**T) //因为要在函数体里给指针赋值，所以传递的是指针的指针
{
}
向节点内输入数据：
void CreateTree(tree**T) //因为要在函数体里给指针赋值，所以传递的是指针的指针
{
char c;
scanf("%c",&c);
}
然后判断，如果输入的是空字符，就对所访问的树节点的指针赋予空指针，函数返回；
void CreateTree(tree**T) //因为要在函数体里给指针赋值，所以传递的是指针的指针
{
char c;
scanf("%c",&c); //给结点数据赋值
if(c==' ')
{(*T)=NULL;} //输入空字符则为空指针
}
如果输入的不是空字符，则将其输入当前节点，并递归地访问左子树和右子树：
（这里if_else语句结构还起到递归结束条件的作用——不符合条件不继续深入递归，递归返回）
void CreateTree(tree**T) //因为要在函数体里给指针赋值，所以传递的是指针的指针
{
char c;
scanf("%c",&c); //给结点数据赋值
if(c==' ')
{(*T)=NULL;} //输入空字符则为空指针
else
{/*以下两句相当于visit函数*/
(*T)=(tree*)malloc(sizeof(tree));
(*T)->data=c;
}
并递归地访问左子树和右子树：
void CreateTree(tree**T) //因为要在函数体里给指针赋值，所以传递的是指针的指针
{
char c;
scanf("%c",&c); //给结点数据赋值
if(c==' ')
{(*T)=NULL;} //输入空字符则为空指针
else
{/*以下两句相当于visit函数*/
(*T)=(tree*)malloc(sizeof(tree));
(*T)->data=c;
/*以下两句和先序遍历的一般形式稍有不同*/
CreateTree(&((*T)->lchild));
CreateTree(&((*T)->rchild));
/*递归地创建孩子结点。注意，由于要在函数体里给指针赋值，所以传递的是指针的指针*/
}
}
例题：用先序遍历创建如下的树：
A-B,A-E;B-C,B-D;E-F
并输出D位于二叉树的层数；
首先，创建一个二叉树（前面有，照抄就行，这里就不多说了）。
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
typedef struct node
{
char data;
struct node *lchild,*rchild;
}tree;
void CreateTree(tree**T);
void visit(char c,int index);
void PreOrderTraverse(tree *T,int index);
main()
{
tree *T;
CreateTree(&T);
}
void CreateTree(tree**T)
{
char c;
scanf("%c",&c);
if(c==' ')
{(*T)=NULL;}
else
{ (*T)=(tree*)malloc(sizeof(tree));
(*T)->data=c;
CreateTree(&((*T)->lchild));
CreateTree(&((*T)->rchild));
}
然后设计visit函数：思路是遍历，找到字符“D”，然后输出对应的层数。这里采用前序遍历：
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
typedef struct node
{
char data;
struct node *lchild,*rchild;
}tree;
void CreateTree(tree**T);
void PreOrderTraverse(tree *T);
main()
{
tree *T;
CreateTree(&T);
PreOrderTraverse(T,1);
}
void CreateTree(tree**T)
{
char c;
scanf("%c",&c);
if(c==' ')
{(*T)=NULL;}
else
{ (*T)=(tree*)malloc(sizeof(tree));
(*T)->data=c;
CreateTree(&((*T)->lchild));
CreateTree(&((*T)->rchild));
}
}
void PreOrderTraverse(tree *T)
{ if(T)
{
visit(T,);
PreOrderTraverse(T->lchild);
PreOrderTraverse(T->rchild);
}
}
为了得到当前二叉树的层数，需要对先序遍历的算法加以改造以记录递归地层数。这里采用“递归计数器”的方式，给递归函数的参数增加一个，而在递归每深入一层时，该参数都递增1（注意是表达式加1，不得用递增运算符，这样会比实际层数多1或少1，因为递增运算符加1操作和所在表达式的运算不是同时的），同时注意参数的传递必须仅仅是单值传递，而不是指针的传递，每一层中参数的局部值都不会受到下一层任何操作的影响。
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
typedef struct node
{
char data;
struct node *lchild,*rchild;
}tree;
void CreateTree(tree**T);
void PreOrderTraverse(tree *T,int level);
main()
{
tree *T;
CreateTree(&T);
PreOrderTraverse(T,1);
}
void CreateTree(tree**T)
{
char c;
scanf("%c",&c);
if(c==' ')
{(*T)=NULL;}
else
{ (*T)=(tree*)malloc(sizeof(tree));
(*T)->data=c;
CreateTree(&((*T)->lchild));
CreateTree(&((*T)->rchild));
}
}
void visit(tree *T,int flag,int level,int n)
{
}
void PreOrderTraverse(tree *T,int level)
{ if(T)
{
visit()
PreOrderTraverse(T->lchild,level+1);
PreOrderTraverse(T->rchild,level+1);
}
}
现在开始设计visit函数：每到达一个节点，就检查该节点是不是我们要找的（“D”），并输出所在的层数，所以要传入节点的字符（T->data）以及对应的层数（level）两个参数；并在函数体内执行前面所述的算法：
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
typedef struct node
{
char data;
struct node *lchild,*rchild;
}tree;
void CreateTree(tree**T);
void visit(char c,int level);
void PreOrderTraverse(tree *T,int index);
main()
{
tree *T;
CreateTree(&T);
PreOrderTraverse(T,1);
}
void CreateTree(tree**T)
{
char c;
scanf("%c",&c);
if(c==' ')
{(*T)=NULL;}
else
{ (*T)=(tree*)malloc(sizeof(tree));
(*T)->data=c;
CreateTree(&((*T)->lchild));
CreateTree(&((*T)->rchild));
}
}
void visit(char c,int level)
{
if(c==’D’)
printf(“%c is at the %d level of the tree/n”,c,level);
}
void PreOrderTraverse(tree *T,int level)
{ if(T)
{
visit(T->data,level);
PreOrderTraverse(T->lchild,level+1);
PreOrderTraverse(T->rchild,level+1);
}
}
下面这一题要用到前面这一题的一些东西：
判断完全二叉树
分析：满足什么条件的才是完全二叉树？由题目叙述可以知道：如果树的深度为k
1则第1到第k-1层必须构成一个满二叉树，即第1到第k-2层每个结点既有左孩子又有右孩子；
2在第k-1层中，一旦有一个节点的右孩子为空，则同层中后继结点的左右孩子都为空，一旦有一个节点左孩子为空，该节点的右孩子以及同层中后继结点的左右孩子都为空；
遍历所有节点，所有节点两个条件都满足，则为完全二叉树；
有一个节点不满足就不是，同时退出遍历；
据此，可以得到算法的伪代码：
Boolean isJust（）
{
遍历所有节点
{
If（不满足完全二叉树条件）
return false;
}
return true;
}
首先，可以直接将上一题创建树的代码搬过来：
遍历树：
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
typedef struct node
{
char data;
struct node *lchild,*rchild;
}tree;
void CreateTree(tree**T);
void visit(char c,int level);
void PreOrderTraverse(tree *T,int index);
main()
{
tree *T;
CreateTree(&T);
}
void CreateTree(tree**T)
{
char c;
scanf("%c",&c);
if(c==' ')
{(*T)=NULL;}
else
{ (*T)=(tree*)malloc(sizeof(tree));
(*T)->data=c;
CreateTree(&((*T)->lchild));
CreateTree(&((*T)->rchild));
}
}
把分析的伪代码接上去，构造遍历和判断完全二叉树的代码：
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
typedef struct node
{
char data;
struct node *lchild,*rchild;
}tree;
void CreateTree(tree**T);
void visit(char c,int level);
void PreOrderTraverse(tree *T,int index);
main()
{
tree *T;
CreateTree(&T);
PreOrderTraverse(T,1);
}
void CreateTree(tree**T)
{
char c;
scanf("%c",&c);
if(c==' ')
{(*T)=NULL;}
else
{ (*T)=(tree*)malloc(sizeof(tree));
(*T)->data=c;
CreateTree(&((*T)->lchild));
CreateTree(&((*T)->rchild));
}
}
Boolean isJust（）
{
遍历所有节点 //*
{
If（！条件）
return false;
}
return true;
}
遍历树：
Boolean isJust（）
{
遍历所有节点
{
If（！条件）
return false;
}
return true;
}
在二叉树的先序遍历中，“遍历所有节点”即
Boolean isJust（tree*T）
{ if(T!=NULL)
{
visit();
isJust（ T->lchild）;
isJust（T->rchild）;
}
}
而伪代码之中
{
If（！条件）
return false;
}
就相当于visit函数；
根据前面分析的判断条件，构造visit函数：
由前面的算法，函数需要树节点指针*T，标签变量flag（用以记录前面是否出现NULL节点，初始值为0），当前遍历的层数level以及树的深度n四个变量；
“分析”中的第2条可以归结为：
在第k-1层，如果出现了空节点，标识变量flag置1；
if(level==n-1) //在第k-1层
{
if(T->rchild==NULL||T->lchild==NULL)
{ flag=1;}
}
如果在前面已经出现了空节点的情况下又出现了非空节点，这就不是完全二叉树：
if(level==n-1) //在第k-1层
{
if(T->rchild==NULL||T->lchild==NULL)
{ flag=1;}
if(flag==1&&(T->rchild!=NULL||T->lchild!=NULL))
{return false;}
}
第1条可以归结为：
在第1到k-2层，如果左孩子右孩子为空，则不是完全二叉树：
if(level==n-1) //在第k-1层
{
if(T->rchild==NULL||T->lchild==NULL)
{ flag=1;}
if(flag==1&&(T->rchild!=NULL||T->lchild!=NULL))
{return false;}
}
else if(level!=n)
{if(T->rchild==NULL&&T->lchild==NULL)
{return false;}
}
把visit函数装入原函数中,同时调整原函数的形参列表：
Boolean isJust（tree*T,int flag,int level,int n）
{ if(!T)
{
if(level==n) //在第k-1层
{
if(T->rchild==NULL||T->lchild==NULL)
{ flag=1;}
if(flag==1&&(T->rchild!=NULL||T->lchild!=NULL))
{return false;}
}
else if(level!=n+1)
{if(T->rchild==NULL&&T->lchild==NULL)
{return false;}
}
isJust（ T->lchild,flag,level+1,n）;
isJust（T->rchild,flag,level+1,n）;
}
return true;
}
这里判断是不是完全二叉树的isJust()函数仍然不符合要求，无论是什么二叉树返回的结果都是真，问题就出在递归的形式上，每一层递归返回的结果之间没有关系，仅仅是深入递归而已，深一层递归返回的结果对上一层无影响。就算是递归深入到最后返回的结果是假，也只是悄悄地返回，然后执行下面一句：return true;
由分析知：此处递归的特点是“符合条件就一直递归遍历下去，有一个不符合就停止递归返回，并返回“假”，能够全部遍历则为真”。遍历到最后若为“假”，此结果要能返回到最表层，若为真，直接跳出递归执行下一句即可。
一次作如下修改：
bool justTree(tree *T,int flag,int level,int n)
{
if(T!=NULL)
{
if(level==n-1) //在第k-1层
{
if(T->rchild==NULL||T->lchild==NULL)
{ flag=1;}
if(flag==1&&(T->rchild!=NULL||T->lchild!=NULL))
{return false;}
}
else if(level!=n)
{if(T->rchild==NULL||T->lchild==NULL)
{return false;}
}
if(!justTree(T->lchild,flag,level+1,n)) return false;
if(!justTree(T->rchild,flag,level+1,n)) return false;
}
return true;
}
最后一个问题，怎么获得所创建二叉树的深度：
首先，在创建二叉树的同时记录当前的深度，用的是上一题向递归函数传递参数的办法；
void CreateTree(tree**T,int level)
{
char c;
scanf("%c",&c);
if(c==' ')
{(*T)=NULL;}
else
{ (*T)=(tree*)malloc(sizeof(tree));
(*T)->data=c;
CreateTree(&((*T)->lchild),level+1);
CreateTree(&((*T)->rchild),level+1);
}
}
另外向函数传递一个记录深度的变量depth，因为要在函数里改变他的值，所以传的是地址。将这个变量的初始值设为0，用它记录所有当前深度level中的最大值就是这棵树的深度了。
void CreateTree(tree**T,int present_level,int *depth)
{
char c;
scanf("%c",&c);
if(c==' ')
{(*T)=NULL;}
else
{ (*T)=(tree*)malloc(sizeof(tree));
(*T)->data=c;
if(present_level>*depth)
{*depth=present_level;}//找到最大深度靠的就是这一句
CreateTree(&((*T)->lchild),present_level+1,depth);
CreateTree(&((*T)->rchild),present_level+1,depth);
}
}
在主函数中用变量depth记录树的深度，先创建一个二叉树并传入depth变量的地址，然后调用判断是否为完全二叉树的函数justTree（），将已记录有树的深度的变量depth传入，然后打印判断结果，如果是完全二叉树则打印“1”，否则打印“0”；
代码清单：
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
typedef struct node
{
char data;
struct node *lchild,*rchild;
}tree;
void CreateTree(tree**T,int present_level,int *depth);
bool justTree(tree *T,int flag,int level,int n);
main()
{
tree *T;
int depth=0;
CreateTree(&T,1,&depth);
printf("%d",justTree(T,0,1,depth));
}
void CreateTree(tree**T,int present_level,int *depth)
{
char c;
scanf("%c",&c);
if(c==' ')
{(*T)=NULL;}
else
{ (*T)=(tree*)malloc(sizeof(tree));
(*T)->data=c;
if(present_level>*depth)
{*depth=present_level;}
CreateTree(&((*T)->lchild),present_level+1,depth);
CreateTree(&((*T)->rchild),present_level+1,depth);
}
}
bool justTree(tree *T,int flag,int level,int n)
{
if(T!=NULL)
{
if(level==n-1) //在第k-1层
{
if(T->rchild==NULL||T->lchild==NULL)
{ flag=1;}
if(flag==1&&(T->rchild!=NULL||T->lchild!=NULL))
{return false;}
}
else if(level!=n)
{if(T->rchild==NULL||T->lchild==NULL)
{return false;}
}
if(!justTree(T->lchild,flag,level+1,n)) return false;
if(!justTree(T->rchild,flag,level+1,n)) return false;
}
return true;
}
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