87、组合优化与神经网络在相关领域的应用

组合优化与神经网络在相关领域的应用

1. 组合优化中的Hopfield网络及相关方法

在组合优化中，Hopfield网络需要一种限制其搜索空间的方法，也就是“硬约束”。已有多种方法被提出，用于在能量函数中加入硬约束。不过，多数情况下并非所有问题约束都能以硬约束形式实现，所以常采用硬约束和软约束相结合的策略，这种方法能显著提升系统性能。此外，Gee等人提出的方法能使网络状态在每次演化步骤中都落入解空间的“有效子空间”，相比普通Hopfield网络，性能也有明显提升。

除了Hopfield风格的动态模型，具有自组织动态特性的神经网络模型也被用于解决组合优化问题，例如弹性网络算法、Kohonen自组织映射（SOM）和多弹性模块（MEM）等。这些神经网络方法大多采用了共同的能量最小化框架，如弹性网络算法可视为具有特定强约束的Hopfield网络的特殊情况，Kohonen的SOM与弹性网络也存在紧密联系。自组织模型在扩展性上比Hopfield网络更优，能够解决1000个城市的旅行商问题。

然而，使用自组织动态模型解决组合优化问题的主要问题在于其明确使用了几何拓扑保持约束。这些模型在降维问题上应用有效，但应用于一般优化问题时，需要将问题进行非平凡的几何表示转换。不过，它们在更广泛的应用领域正取得进展，如目标识别、目标跟踪和超大规模集成电路（VLSI）的单元最优布局等。

2. 其他替代方法

组合优化领域在应用数学中历史悠久，有许多成熟技术，如整数规划、线性规划、二次规划和动态规划等，用于解决复杂的优化问题。像单纯形法和Karmarkar法等算法在商业应用中广泛使用，涵盖从航班调度到飞机设计等多个领域。这里主要讨论与组合优化相关的随机搜索技术：遗传算法