16、二维和三维空间运动学：从基础到应用

二维和三维空间运动学：从基础到应用

在视觉引导机器人技术的计算领域，几何代数发挥着重要作用。本文将深入探讨二维和三维空间运动学的相关知识，包括角动量、角速度、刚体空间速度以及点、线、面之间的关联等内容。

1. 角动量与角速度的几何代数表示

在三维空间中，传统上粒子的角动量 (L) 由动量 (m) 和位置向量 (x) 通过叉积定义：
[L = x \times m]

而在几何代数里，用二向量替代轴向量，角动量可重写为：
[L = x \wedge m]

这个公式将角动量描述为粒子扫过一个平面的几何表达，如图 1 所示。

由于角动量用二向量表示，角速度也需以二向量形式呈现。假设正交归一框架 ({u_k}) 在三维空间中旋转，且通过转子 (R) 与另一个框架相关联：
[u_k = R(t)e_k \tilde{R}(t)]

传统上，角动量向量 (w) 由叉积定义：
[\dot{u}_k = w \times u_k = -Iw \wedge u_k = (-Iw) \cdot u_k]

其中，（空间）角速度二向量为：
[\Omega_S = I_3w]

这里的伪标量 (I_3 \in G_{3,0,0})，符号确保了所涉及转子的方向感。

对 (u_k) 关于时间求导可得：
[\dot{u} = \dot{R}e_k \tilde{R} + Re_k \dot{\tilde{R}} = \dot{R} \tilde{R}u_k + u_k R \dot{\tilde{R}}]

因为 (R \