13、3D与4D几何代数：从旋转器到电机代数的深入探索

3D与4D几何代数：从旋转器到电机代数的深入探索

1. 三维欧几里得空间的3D几何代数

在三维欧几里得空间中，我们可以复用公式 (f_ke_k = R e_k \tilde{R} e_k = 4 \cos \left(\frac{|B|}{2}\right) R - 1)。由此可知，未知的旋转器 (R) 是 (1 + f_ke_k) 的标量倍数，进而可以得到一个简单且有用的公式：
[R = \frac{1 + f_ke_k}{|1 + f_ke_k|} = \frac{\zeta}{\sqrt{\zeta \tilde{\zeta}}}]
其中 (\zeta = 1 + f_ke_k)。通过这个公式，我们可以直接从框架向量中恢复旋转器。

2. 四元数代数

2.1 四元数的起源

四元数代数 (IH) 是由W. R. Hamilton在1843年发明的。当时，他花了近10年时间寻找一种代数系统，使其能像复数对二维空间那样对三维空间起到相同的作用。有趣的是，当前向量代数的形式是由Gibbs在1901年从两个向量的四元数乘积中提取出来的，即 (ab = -a \cdot b + a \times b)。

2.2 三维广义复数系统的探索

Hamilton试图为三元组 (a = a_1i + a_2j + a_3k) 和 (b = b_1i + b_2j + b_3k) 找到一种乘法规则，使得 (|ab| = |a||b|)，对应于向量 (a, b \in R^3) 的乘法积。然而，根据Legendre（1830）的结果，在三维空间中不存在这样的双线性积。例如，不存在形如 (4a(6b + 7))（(a \geq 0,