13、堆、优先队列与排序算法详解

堆、优先队列与排序算法详解

1. 堆的基础概念

堆是一种完全二叉树，其元素的键满足堆属性：从根到叶的任何路径上的键都是递减（即非递增）的。例如，有一个堆，其从根到叶的路径上的键依次为：77 → 66 → 44 → 22；77 → 66 → 44 → 41等。堆可以类比为家族后裔树，因为堆属性意味着每个父节点都比其子节点“年长”。

堆的两个主要应用是实现优先队列和堆排序算法。

1.1 自然映射

每个完全二叉树都可以自然地映射到一个数组中。通过对树进行层序遍历得到映射，在得到的数组中，索引为 i 的元素的父节点索引为 i/2，子节点索引为 2i 和 2i + 1。例如，元素 60 在索引 i = 5 处，其父节点是索引 i/2 = 2 处的元素 66，其子节点是索引 2i = 10 和 2i + 1 = 11 处的元素 58 和 25。

数组和完全二叉树之间的自然映射是双向对应的。将数组元素映射回完全二叉树的步骤如下：
1. 从根节点开始，按层序遍历依次对树节点编号，根节点编号为 1。
2. 将数组中索引为 i 的元素复制到编号为 i 的树节点中。

如果得到的树具有堆属性，则称该数组也具有堆属性。判断数组是否具有堆属性的方法是先将其映射到二叉树，然后检查每条从根到叶的路径。例如，数组对应的根到叶路径 {88, 66, 44, 51} 不是递减的（44 < 51），则该树和数组都不具有堆属性。

具有堆属性的数组是部分有序的，即大多数较大的键排在大多数较小的键之前。更准确地说，每个堆路径子数组都是按降序排序的，堆路径子数组是数组元素的一个子序列，其中每个索引数是其后继索引数的一半