24、变分法及其应用

变分法及其应用

1. 引言

变分法是一种用于寻找使泛函达到极值的函数的数学方法。在许多实际问题中，我们常常需要找到满足特定条件的最优函数，例如最短路径、最小时间路径、最小表面积等。变分法提供了一种系统的方法来解决这些问题。

2. 摆线的绘制

在Mathematica中，可以使用以下代码绘制摆线：

a = 2;
ParametricPlot[{a*(θ - Sin[θ]), -a*(1 - Cos[θ])}, {θ, 0, 3π}]

这段代码定义了参数 a 为2，并使用 ParametricPlot 函数绘制摆线。摆线是一个点在圆沿直线滚动时所形成的轨迹。

3. 测地线问题

3.1 问题描述

测地线是曲面上两点之间的最短路径。在半径为 R 的球面上，我们要找到两点之间的测地线。

3.2 推导过程

• 球面上的无穷小位移为：
• (ds = R\sqrt{d\theta^2 + \sin^2\theta d\varphi^2} = R\sqrt{\theta’^2 + \sin^2\theta} d\varphi)
• 其中(\theta’ = \frac{d\theta}{d\varphi})。
• 长度积分(L)为：
• (L = \int ds = \int_