64、电路网络定律与定理解析

电路网络定律与定理解析

1. 电路方程求解基础

在电路分析中，有时需要求解矩阵方程来确定电路中的电流和电压。一般而言，要解决的矩阵方程为：
[
\begin{bmatrix}
A_0 & B_0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\mathbf{v} \
\mathbf{i}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\mathbf{U}_C^T \
\mathbf{H}_C
\end{bmatrix}
]
其中，(H) 是 (f) - 割集矩阵中的非单位子矩阵，(C_0) 是 (B×1) 的常数列矩阵（或时间的独立函数）。关键在于，若 ([A_0 B_0]) 的维度为 (B×2B) 且秩为 (B)，根据西尔维斯特不等式，它与下一个秩也为 (B) 的矩阵相乘，结果将是一个 (B×B) 的方阵且秩为 (B)。这种情况下，所得的系数矩阵可逆，从而可以求解方程。

虽然这种方法比节点分析等方法计算量更大，但具有通用性。若要求解一般电路中所有元件的电流和电压，可能会面临额外的复杂性。不过，该方法具有算法性，可实现计算机自动化求解。元件约束矩阵 (A_0) 和 (B_0) 由对应于每种元件类型的规范化子矩阵组成，这与改进节点技术中的“邮票”概念类似，不同之处在于它以节点电压而非树电压作为电路支路电压空间的基础。

2. 网络定理概述

在电阻电路分析中，基于基尔霍夫电压定律（KVL）和电流定律（KCL），可以推导出一组网孔或节点方程，求解这些方程就能得到网孔电流或节点电