14、拉普拉斯变换在系统分析中的应用及稳定性探讨

拉普拉斯变换在系统分析中的应用及稳定性探讨

1. 部分分式展开系数求解示例

在求解拉普拉斯变换相关问题时，部分分式展开（PFE）系数的确定是关键步骤。下面通过一个具体例子来说明如何代数地求出n个分式的PFE系数。

示例20

已知(X(s)=\frac{4}{(s^2 + 1)(s^2 + 10)})，求对应的时间信号(x(t))。
- 步骤一：识别二次因子
- 观察到((s^2 + 1)^2)是一个(n = 2)阶的二次因子，其中(\beta = 0)，(\gamma = 1)。
- 根据之前的知识，(\beta = -2 Re{p})，这里与二次因子相关的极点(p)和(p^ )为(\pm j)。由于(p)的实部为(0)，所以可以预期时间信号中的一项为纯正弦信号。
- 步骤二：进行部分分式展开
- 将(X(s))写为(X(s)=\frac{A}{s + 1}+\frac{B_1s + C_1}{s^2 + 1}+\frac{B_2s + C_2}{(s^2 + 1)^2})。
- 利用简单线性因子的熟悉技巧，可求得(A = 1)。
- 两边同乘((s^2 + 1)^2)，得到(4 = A(s^2 + 1)(s^2 + 10)+(B_1s + C_1)(s^2 + 10)(s^2 + 1)+(B_2s + C_2)(s^2 + 10))。
- 通过比较(s)的同次幂系数，可得到(B_2 = -1)，(C_2 = 1)，(B_1 = 2)，(C_1 = -2)。
- 所以(X(s)=\frac{1}{