7、拉普拉斯变换在线性系统分析中的应用与稳定性研究

拉普拉斯变换在线性系统分析中的应用与稳定性研究

1. 拉普拉斯变换的部分分式展开

拉普拉斯变换（LT）在处理复杂的系统问题时，部分分式展开（PFE）是一个重要的工具。对于形如 (X(s)=\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{N(s)}{(s^{2}+\beta s + \gamma)^{n}D_{other}(s)}) 的有理函数，可以将其展开为：
[X(s)=\sum_{i = 0}^{n - 1}\frac{B_{n - i}s + C_{n - i}}{(s^{2}+\beta s+\gamma)^{n}}+\text{other PFs corresponding to factors in }D_{other}(s)]
下面通过一个具体的例子来说明如何找到这些部分分式的系数。

例 3.20 ：求与 (X(s)=\frac{4s^{2}}{(s^{2}+1)^{2}(s + 1)}) 对应的时间信号 (x(t))。
1. 首先，识别出 ((s^{2}+1)^{2}) 是一个 (n = 2) 阶的二次因子，其中 (\beta = 0)，(\gamma = 1)。根据之前的知识，(\beta=-2\mathrm{Re}{p})，这里的 (p) 和 (p^{*}) 是与该二次因子相关的极点，即 (\pm j)。由此可以预测时间信号中会有一个纯正弦项。
2. 将 (X(s)) 写成部分分式的形式：
- 利用简单线性因子的处理技巧，得到 (A = 1)。
- 两边同乘 ((s^{2}+1)^{2}(s + 1))，得到 (4s^{2}=(B_{2}s + C_{2})(s + 1)+(B_{1