20、受限不受欢迎匹配与局部更新操作的数据结构

受限不受欢迎匹配与局部更新操作的数据结构

在图匹配和数据结构领域，受限不受欢迎匹配和具有局部更新操作的数据结构是两个重要的研究方向。下面我们将深入探讨这两个方面的内容。

受限不受欢迎匹配

在图匹配问题中，受欢迎匹配是一个重要的概念。然而，有些图可能不存在受欢迎匹配。在这种情况下，我们可以寻找具有受限不受欢迎程度的匹配。

设图 $G$ 不存在受欢迎匹配。如果算法在图 $H_3$ 中产生一个 $A$-完备匹配 $M$，那么 $M$ 是图 $G$ 中具有最小不受欢迎因子的匹配。这是因为根据相关定理，如果算法在 $H_3$ 中产生一个申请人完备匹配 $M$，则 $u(M) \leq 2$。而且，任何匹配的不受欢迎因子总是一个整数。所以，当图 $G$ 不存在受欢迎匹配时，我们所能期望的 $u(\cdot)$ 的最低值就是 2，因此 $M$ 是最小不受欢迎因子匹配。

不过，如果算法在图 $H_4$ 中得到一个 $A$-完备匹配 $M_4$（此时 $u(M_4) \leq 3$），并不能说明不可能找到更好的匹配。

为了验证算法在实际中的性能，我们进行了实验。实验设置如下：
- 申请人和职位的数量相等，都用 $n$ 表示。
- 偏好列表的长度都为 $k$。
- 用参数 $t$ 表示偏好列表中一个条目与其前一个条目出现平局的概率。

实验结果如下表所示：
| $n = 100$ | # rounds | | |
| — | — | — | — |
| $k$ | $t$ | 2 | 3 | 4 |
| 4 | 0.05 | 996 | 0 | 4 |
| | 0