16、低失真度量嵌入到恒定维度的研究

低失真度量嵌入到恒定维度的研究

在数据处理和分析领域，度量嵌入是一个重要的研究方向。当源数据处于结构简单但维度极高的空间时，高维度会显著降低算法的运行效率，即所谓的“维度诅咒”。此时，嵌入的主要目标是降维，即使度量不被简化，映射到低维空间也能提供很大的帮助。

1. 前期研究成果

有限度量空间的嵌入问题已经经过了长期的广泛研究，取得了大量的成果。以下是一些关于将 $n$ 点度量空间低失真嵌入到 $\ell_d^p$（$d \ll n$）的基础成果：
- Bourgain 定理 ：任何 $n$ 点有限度量空间都可以嵌入到欧几里得空间，失真为 $O(\log n)$。后来 Linial、London 和 Rabinovich 证明了对于任何 $p$，目标范数为 $\ell_p$ 时也成立，并且将目标空间的维度从最初的指数级降低到 $O(\log^2 n)$，同时还证明了失真的 $\Omega(\log n)$ 下界。Abraham、Bartal 和 Neiman 进一步将目标维度降低到 $O(\log n)$，并表明平均失真（而非最坏情况）可以达到 $O(1)$。这一系列结果表明，当将一般的 $n$ 点度量空间嵌入到 $\ell_d^p$ 时，随着 $n$ 的增长，$d$ 和失真都无法保持有界。
- Johnson - Lindenstrauss 引理 ：对于任意 $\epsilon > 0$，$\ell_2$ 空间中的任意 $n$ 个点都可以以 $1 + \epsilon$ 的失真（即几乎等距）嵌入到 $\ell_d^2$ 中，其中 $d = O(\log n / \epsilon^2)$。虽然已知在