30、图着色问题的算法与近似方案

图着色问题的算法与近似方案

1. 单资源约束下的批量着色问题

在单资源约束的情况下，每个作业需要使用单一资源进行处理，所有竞争同一资源的作业构成一个团。对于不相交团集合上的批量着色问题（Bsc），存在一种算法，其运行时间为 $min(h^{O(d)}, 2^{O(h)})n$，其中 $h$ 是最大团的大小，$d$ 是不同长度的数量。

1.1 算法思路

该算法采用动态规划的方法。对于每个可能的作业长度（多重）集合 $S$，计算对某个子图进行着色的最小成本。假设图的一部分已经着色，$S$ 包含已着色的最长批次的长度。对于每个这样的 $S$，计算对剩余图进行批量着色的最小成本。

1.2 具体步骤

1. 构建表格 ：使用以 $h$ 有界多重集（大小至多为 $h$ 的集合）为索引的表格。
2. 填充表格 ：从下往上填充表格，尝试所有可能的值来扩展给定集合 $S$，即添加这些值（可能删除最小值）后得到一个支配 $S$ 的 $h$ 有界序列。
3. 复杂度分析 ：$h$ 有界长度集合的数量受图中团的子集数量限制，即 $\sum_{C\in G} 2^{|C|} \leq 2^{hn}/h$。当长度数量 $d$ 固定时，也可以通过计算每个长度 $\ell$ 在集合中出现的次数，将这个数量限制为 $h^d$。计算表格的每个条目最多需要参考所有被支配的条目，总时间复杂度至多为表格大小的平方。

2. 路径上的最大着色问题

对于路径上的最大着色