31、图像分析：傅里叶变换、余弦变换与积分图像

图像分析：傅里叶变换、余弦变换与积分图像

1. 概述

之前我们了解了OpenCV提供的图像变换，这些变换本质上是将输入图像映射为输出图像，输出依然是图像。而现在我们要探讨的操作会将图像转换为可能完全不同的表示形式。这些新表示通常还是值的数组，但这些值的含义可能与输入图像的强度值大不相同。例如离散傅里叶变换，其输出“图像”虽仍是数组，但包含了输入图像的频率表示。在某些情况下，变换结果可能是组件列表，而非数组，如霍夫线变换。最后，我们还会学习图像分割方法，它能将图像表示为有意义的连接区域。

2. 离散傅里叶变换（DFT）

对于由离散（整数）参数索引的任何一组值，可以类似于连续函数的傅里叶变换来定义离散傅里叶变换（DFT）。对于N个复数$x_0, x_1, x_2, …, x_{N - 1}$，一维DFT的定义如下（此处公式省略），类似的变换也可定义用于二维数组（更高维的情况也存在）。一般来说，计算N个不同的项$g_k$可能需要$O(N^2)$次操作，但实际上有几种快速傅里叶变换（FFT）算法能在$O(N log N)$时间内完成计算。

2.1 cv::dft()函数

OpenCV的 cv::dft() 函数实现了一种FFT算法，可用于计算一维和二维数组的FFT。其函数原型如下：

void cv::dft(
  cv::InputArray    src,                        // Input array (real or complex)
  cv::OutputArray   dst,