16、无线传感器网络中的整数最大流问题研究

无线传感器网络中的整数最大流问题研究

1. 问题复杂度概述

整数最大流无线传感器网络容量（Integer Max - Flow WSNC）问题具有较高的复杂度。除非 $P = NP$，该问题不存在完全多项式时间近似方案（FPTAS）和伪多项式时间算法。这是因为强 $NP$ 完全问题通常没有 FPTAS 和伪多项式时间算法。并且，即使在受限情况下，该问题也是 APX 难的，即除非 $P = NP$，否则它甚至没有多项式时间近似方案（PTAS）。

2. 几何模型

在几何模型中，节点具体嵌入在空间中，每个节点都有位置，向距离为 $d$ 的节点传输数据的能量成本为 $d^2$，这是无线电发射器的典型成本模型。
- 几何配置定义 ：几何配置是一个完全图，每个节点 $i \in N$ 有位置 $p(i)$ 和初始电池容量 $E_i$，顶点 $i$ 和 $j$ 之间的边的成本为 $e_{ij} = |p(i) - p(j)|^2$。
- 问题的 $NP$ 完全性证明 ：当限制在所有节点都位于一条直线上的几何配置时，WSNC 问题仍然是强 $NP$ 完全的。
- 构造几何配置 $C$ ：
- 有 $m$ 个源节点 $s_1, \ldots, s_m$，每个源节点初始能量为 $B = \sum x_i/m$，且都位于几何配置的原点，即 $p(s_i) = 0$。
- 对应每个 $x_i \in S$，有一个“中继”节点 $r_i$，通过设置 $p(r_i) = \sqrt{x_i}$，使得源节点向 $r_i$ 发送一个数据包需要使用