3、简化平面核心集与唯一表示数据结构在计算几何中的应用

简化平面核心集与唯一表示数据结构在计算几何中的应用

在数据处理和计算几何领域，有两个重要的研究方向值得关注，一是简化平面核心集在数据流中的应用，二是唯一表示数据结构在计算几何问题中的构建。下面将详细介绍这两个方向的相关内容。

简化平面核心集在数据流中的应用

在处理数据流中的点集时，自适应凸包算法是一种有效的方法。通过将自适应凸包的原始证明从正方形参考系映射到边界框（bbox）参考系，我们得到了以下两个重要定理：
- 定理 1 ：静态点集的自适应凸包具有方向误差 $err(θ) = O(E(θ)/r^2)$。
- 定理 2 ：设 $Θ$ 是数据流中单个子时期的边界框相关的基本方向集，并且假设在子时期开始时，已知数据流在方向 $Θ$ 上的极值。那么在该子时期内，自适应凸包的方向误差 $err(θ) = O(E(θ)/r^2)$。

自适应凸包算法步骤

该算法将数据流按每 $r$ 个点一批进行处理，以简化自适应凸包的维护。具体步骤如下：
1. 初始化 ：
- 收集数据流的前 $r$ 个点。
- 定义边界框 $B$、边界框分布 $Φ$ 和基本采样方向 $Θ$。
- 使用基本采样方向 $Θ$ 和给定的细化规则，为这 $r$ 个点构建自适应凸包。
2. 维护 ：
- 收集数据流的接下来 $r$ 个点。
- 如果新点都不在与 $B$ 同心的两倍边界框 $B’$ 之外，则将新点合并到当前自适应凸包中。
- 否则（即出现新的时期或子时期）：