28、航天器重力梯度力矩下的控制分析

航天器重力梯度力矩下的控制分析

1. 引言

在航天器的运行过程中，重力梯度力矩是一个不可忽视的因素。对于低轨道的细长型航天器，重力梯度力矩的影响尤为显著。若不加以适当补偿，可能会导致航天器翻滚或姿态异常，如NASA的Skylab任务就因重力梯度力矩而提前结束。因此，分析重力梯度对低轨道卫星的影响至关重要。

2. 重力梯度力矩下的闭环角位移与稳态误差

在零初始条件下，通过拉普拉斯逆变换可得到如下闭环角位移公式：
[ \theta(t) = \frac{\theta_0}{k_1} \left[ 1 - e^{-\zeta\omega t} \left( \cos(\omega_d t) + \frac{\zeta}{\sqrt{1 - \zeta^2}} \sin(\omega_d t) \right) \right] u_s(t) ]
其中，(\omega_d = \omega \sqrt{1 - \zeta^2}) 是阻尼自然频率，(u_s(t)) 是单位阶跃函数。稳态角误差为：
[ \theta(\infty) = \lim_{s \to 0} s \Theta(s) = \frac{\theta_0}{k_1} ]
可通过尽可能增大 (k_1) 来最小化稳态角误差。

3. 重力梯度力矩的表达式

考虑一个在频率为 (n) 的圆形轨道上的航天器，其主轴处于天底指向平衡姿态 ((i_e, j_e, k_e))。受到扰动后，航天器的姿态变为 ((i, j, k))，用欧拉角 ((\phi)_3, (\theta)_2, (\psi)_1) 表示，分别称为滚动、俯仰和偏航。此时，重力梯度力矩可表示