20、无限随机序列与停机概率的深入探究

无限随机序列与停机概率的深入探究

1. 无限随机序列的定义与判定

在研究无限随机序列时，最初的想法是，若一个无限序列的前n个长度段的复杂度最多比n小一个固定的加法常数，那么这个序列就是随机的。不过，对于普通的柯尔莫哥洛夫复杂度C(·)，由于复杂度的振荡，这个想法并不适用。

许多学者对无限随机序列的定义做出了贡献：
- A.N. 柯尔莫哥洛夫提出了初始段复杂度与无限序列随机性之间的关系，但使用C(·)复杂度时该方法不正确。
- P. 马丁 - 洛夫在此基础上发展了相关理论。
- C.P. 施诺尔和L.A. 莱文分别针对均匀分布和任意可计算分布，引入了“过程复杂度”和复杂度Km(x)的“单调”变体来刻画随机性。
- G.J. 柴廷提出，若对于所有的n，K(ω₁ₙ) ≥ n - O(1)，则称无限序列ω是随机的。这一观点与马丁 - 洛夫意义上的随机序列精确对应，这一重要结果被称为施诺尔定理。

施诺尔定理指出：一个无限二进制序列ω相对于均匀测度是随机的，当且仅当存在一个常数c，使得对于所有的n，K(ω₁ₙ) ≥ n - c。以下是该定理的证明：
- 必要性证明 ：假设ω是一个随机无限序列，对于每个顺序测试δ，有δ(ω) < ∞。构造一个特定的顺序测试δ，若δ(ω) < ∞，则存在常数c，使得对于所有的n，K(ω₁ₙ) ≥ n - c。
- 充分性证明 ：假设ω不是随机的，即存在一个顺序测试δ，使得δ(ω) = ∞。可以证明n - K(ω₁ₙ)是正无界的。

2. 复杂度振荡与随机序列的特征

随机无限序