高等数学第一章学习笔记

第一章

第一节 映射与函数

一、映射概念

1.映射概念

映射定义
设 $X,Y$是两个非空集合，如果存在一个 法则 $f$,使得对 $X$中的每个元素 $x$按法则 $f$,在 $Y$中有唯一确定的元素 $y$与之对应，那么称 $f$为从 $X$到 $Y$的映射，记作：
$$f:X\to Y$$ 其中， $y$称为元素 $x$（在映射 $f$下）的像，并记作 $f(x)$，即 $$y=f(x)$$ 而元素 $x$称为元素 $y$（在映射 $f$下）的一个原像；集合 $X$称为映射 $f$的定义域，记作 $D_f$，即 $D_f=X$； $X$中的所有元素的像所组成的集合称为映射 $f$的值域，记作 $R_f$或 $f(x)$，即 $$R_f=f(x)=\{f(x)\mid x\in D\}$$ .

同时需要记住的一些内容
1. 构成映射必须具备的三个要素：集合$X$,集合$Y$,对应的法则$f$。同时，使对每个$x \in X$有唯一确定的$y=f(x)$与之对应。
2. 像$y$是唯一的，原像$x$不一定是唯一的。$R_f$是$Y$的一个子集即$R_f\subset Y$,不一定$R_f=Y$.
3. 满射，单射，一一映射（双射）。
4. 映射又称为算子，根据不同的$X$，$Y$集合情形下，在不同的数学分支中，映射有不同的名称。（泛函（非空集到数集），变换（非空集到它自身），函数（实数集到实数集）等）。

2.逆映射与复合映射

逆映射定义
既然存在 $f(x)=y$的映射，于是，我们可以定义一个从 $R_f$到 $X$的一个新映射 $g$，即 $$g:R_f\to X$$ 对每个 $y \in R_f$,规定 $g(y)=x$,而且这个 $x$满足 $f(x)=y$。这个新映射 $g$称为映射